h-Methode: Ableitungen Schritt für Schritt
Mit der h-Methode leitest du eine Funktion direkt aus der Definition der Ableitung ab. Du lernst den Rechenweg am Beispiel x² und die typischen Fehler.
Kurz gesagt
Die h-Methode bestimmt die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. Du formst den Zähler um, klammerst h aus, kürzt und lässt erst dann h gegen 0 gehen. Für f(x) = x^2 ergibt das f'(x) = 2x.
Mit der h-Methode leitest du eine Funktion direkt aus der Definition der Ableitung ab. Du berechnest zunächst Sekantensteigungen für einen Abstand h \ne 0 und lässt diesen Abstand anschließend gegen 0 gehen. Existiert der Grenzwert, erhältst du die Tangentensteigung und damit die Ableitung.
Deine Lernziele
Wähle auf dem Graphen von f zwei Punkte mit den x-Werten x und x + h. Ihr waagerechter Abstand ist h. Die Gerade durch beide Punkte heißt Sekante. Nun lässt du h gegen 0 gehen: Der zweite Punkt rückt immer näher an den ersten, und die Sekante nähert sich der Tangente. Aus den Sekantensteigungen wird so die Tangentensteigung.
Differenzenquotient
Der Differenzenquotient \frac{f(x+h) - f(x)}{h} beschreibt für h \ne 0 die Steigung der Sekante durch die Punkte bei x und x + h.
Differentialquotient
Der Grenzwert der Sekantensteigungen heißt Differentialquotient. Existiert er, ist er die Ableitung: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. f'(x) ist die Tangentensteigung an der Stelle x.
Merke: Der Differenzenquotient ist eine Sekantensteigung bei h \ne 0. Sein Grenzwert für h \to 0 ist die Tangentensteigung.
Teste dich
Die h-Methode ist ein fester Ablauf. Das Kürzen durch h ist erlaubt, weil während der Umformung h \ne 0 gilt. Erst ganz am Ende betrachtest du h \to 0. Für eine bestimmte Stelle x_0 gilt dieselbe Idee: f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}. Die Schreibweise mit x liefert die Ableitungsfunktion, die mit x_0 die Steigung an einer Stelle.
| Schritt | Was du tust |
|---|---|
| 1 | die Formel der h-Methode aufschreiben |
| 2 | f(x+h) bilden: jedes x der Vorschrift durch x + h ersetzen |
| 3 | f(x+h) und f(x) in den Zähler einsetzen |
| 4 | Klammern auflösen und gleichartige Terme zusammenfassen |
| 5 | h aus dem gesamten Zähler ausklammern |
| 6 | den gemeinsamen Faktor h kürzen |
| 7 | erst jetzt den Grenzwert für h \to 0 bestimmen |
Teste dich
Für f(x) = x^2 ist f(x+h) = (x+h)^2. Mit der ersten binomischen Formel wird daraus x^2 + 2xh + h^2. Die Terme x^2 und -x^2 heben sich auf, und im gesamten Zähler steckt der Faktor h. Das Ergebnis f'(x) = 2x gibt dir die Tangentensteigung an jeder Stelle. Du musst die h-Methode also nicht für jede Stelle neu durchrechnen.
Beispiel: Die Ableitung von x²
- 1f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
- 2= \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}
- 3= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}
- 4= \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x
Beispiel: Die Steigung an der Stelle 3
- 1Mit der Ableitungsfunktion: f'(3) = 2 \cdot 3 = 6
- 2Direkt: f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h}
- 3= \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6
- 4Die Tangente an den Graphen hat bei x = 3 die Steigung 6.
Merke: Das Kürzen von h beseitigt die Division durch einen immer kleiner werdenden Abstand. Erst danach bestimmst du den Grenzwert.
Teste dich
h sofort gleich 0 setzen: Im ursprünglichen Quotienten steht h im Nenner. Mit h = 0 würdest du durch 0 teilen und \frac{0}{0} erhalten. Du darfst nur untersuchen, welchem Wert der umgeformte Ausdruck zustrebt. f(x+h) falsch bilden: Bei f(x) = x^2 gilt f(x+h) = (x+h)^2 und nicht x^2 + h. Das Argument x + h ersetzt jedes x der Vorschrift. h nur aus einem Summanden kürzen: In 2xh + h^2 ist h ein Faktor beider Summanden. Deshalb darfst du h aus dem gesamten Zähler ausklammern. Ohne gemeinsamen Faktor ist Kürzen nicht erlaubt.
| Falsch | Richtig |
|---|---|
| h = 0 in \frac{f(x+h) - f(x)}{h} einsetzen | erst umformen und kürzen, dann h \to 0 |
| f(x+h) = x^2 + h | f(x+h) = (x+h)^2 |
| \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h^2 | \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h |
Teste dich
Alles auf einen Blick
h-Methode
Sekantensteigung bei einem Abstand h \ne 0
h geht gegen 0, die Sekante nähert sich der Tangente
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
einsetzen, umformen, h ausklammern und kürzen
aus f(x) = x^2 folgt f'(x) = 2x
f'(x_0) ist die Tangentensteigung an der Stelle x_0
Die Ableitung von f(x) = 2x² + x mit der h-Methode
- 1f(x+h) = 2(x+h)^2 + (x+h) = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h
- 2f(x+h) - f(x) = 4xh + 2h^2 + h
- 3\frac{4xh + 2h^2 + h}{h} = \frac{h(4x + 2h + 1)}{h} = 4x + 2h + 1 für h \ne 0
- 4f'(x) = \lim_{h \to 0} (4x + 2h + 1) = 4x + 1
- 5Zum Beispiel an der Stelle 2: f'(2) = 4 \cdot 2 + 1 = 9
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Beim Quadrieren fehlt der mittlere Term der binomischen Formel: (5+h)^2 = 25 + 10h + h^2. Richtig ist \lim_{h \to 0} \frac{10h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (10 + h) = 10.
Lückentext
Zuerst bildet man . Danach werden die Terme im Zähler . Erst nach dem Ausklammern und Kürzen von h bestimmt man den .