Tangentengleichung bestimmen: Formel und Beispiel
Eine Tangente berührt den Graphen und hat dort dieselbe Steigung. Du lernst, ihre Gleichung in vier Schritten aufzustellen und zu prüfen.
Kurz gesagt
Die Tangentengleichung an den Graphen von f an der Stelle x_0 lautet t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0). Du brauchst den Berührpunkt P(x_0\mid f(x_0)) und die Steigung m=f'(x_0). Für f(x)=x^2-2x bei x_0=3 ergibt sich t(x)=4x-9.
Die Tangente an den Graphen von f im Berührpunkt P(x_0\mid f(x_0)) hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Deshalb setzt du m=f'(x_0) und den Berührpunkt in die Punkt-Steigungs-Form ein: y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)
Deine Lernziele
Angenommen, du sollst die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x_0 bestimmen. Zwei Angaben legen diese Gerade fest: Der Berührpunkt ist P(x_0\mid f(x_0)). Den zugehörigen y-Wert erhältst du also mit der ursprünglichen Funktion. Die Tangentensteigung ist m=f'(x_0). Dafür setzt du x_0 in die Ableitungsfunktion ein. Eine Tangente muss den Graphen nicht nur in einem einzigen Punkt treffen. Entscheidend sind der gemeinsame Berührpunkt und die gleiche lokale Steigung, nicht die Anzahl aller Schnittpunkte.
Tangente
Die Tangente ist die Gerade, die den Funktionsgraphen im Berührpunkt lokal am besten annähert. Ist f an x_0 differenzierbar, hat sie dort die Steigung f'(x_0).
Merke: f(x_0) liefert die Höhe des Berührpunkts. f'(x_0) liefert die Steigung der Tangente. Vertausche diese beiden Werte nicht.
Teste dich
Gegeben sind eine differenzierbare Funktion f und eine Berührstelle x_0. Gehe immer in derselben Reihenfolge vor: Ableiten: Bestimme f'(x). Steigung berechnen: Setze x_0 ein und berechne m=f'(x_0). Berührpunkt berechnen: Bestimme y_0=f(x_0). Damit ist P(x_0\mid y_0) bekannt. Geradengleichung aufstellen: Setze m, x_0 und y_0 in y-y_0=m(x-x_0) ein. Forme anschließend bei Bedarf zu y=mx+b um. Die Punkt-Steigungs-Form ist besonders sicher, weil du den bekannten Punkt direkt einsetzen kannst. Aus ihr folgt auch die kompakte Tangentenformel: t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Beispiel: Tangente an f(x)=x^2-2x bei x_0=3
- 1Ableiten: f'(x)=2x-2
- 2Steigung: m=f'(3)=2\cdot 3-2=4
- 3Berührpunkt: y_0=f(3)=3^2-2\cdot 3=3, also P(3\mid 3)
- 4Einsetzen: y-3=4(x-3)
- 5y-3=4x-12
- 6y=4x-9, also t(x)=4x-9
Merke: Punktprobe: Setze x_0 in die Tangente ein, zum Beispiel t(3)=4\cdot 3-9=3=f(3). Die Punktprobe prüft aber nur den Punkt. Kontrolliere zusätzlich, ob die Zahl vor x gleich f'(x_0) ist.
Teste dich
Rechne das Beispiel unten zuerst selbst: die Tangente an f(x)=x^3 bei x_0=-1. Drei typische Fehler: Funktionswert und Ableitungswert vertauscht: Der Punkt verwendet f(x_0), die Steigung verwendet f'(x_0). Vorzeichen bei negativem x_0 verloren: In x-x_0 wird bei x_0=-1 daraus x-(-1)=x+1. Nur den Berührpunkt geprüft: Kontrolliere zusätzlich die Steigung der Geraden. Eine waagerechte Tangente ist kein Sonderverfahren. Wenn f'(x_0)=0 gilt, setzt du einfach m=0 ein. Bei f(x)=x^2+4x und x_0=-2 gilt f'(-2)=0 und f(-2)=-4, du erhältst so y=-4.
Beispiel: Tangente an f(x)=x^3 bei x_0=-1
- 1f'(x)=3x^2, also m=f'(-1)=3\cdot(-1)^2=3
- 2y_0=f(-1)=(-1)^3=-1, also P(-1\mid -1)
- 3y-(-1)=3(x-(-1))
- 4y+1=3(x+1)
- 5y=3x+2
- 6Probe: t(-1)=3\cdot(-1)+2=-1=f(-1), Steigung 3=f'(-1)
Teste dich
Alles auf einen Blick
Tangentengleichung
x_0 ist gegeben; y_0=f(x_0) berechnen
f'(x) bilden; m=f'(x_0) berechnen
y-y_0=m(x-x_0) einsetzen; zu y=mx+b umformen
Punktprobe durchführen; Steigung vergleichen
Tangente an f(x)=\frac{1}{2}x^2+1 bei x_0=2
- 1f'(x)=x, also m=f'(2)=2
- 2y_0=f(2)=\frac{1}{2}\cdot 2^2+1=3, also P(2\mid 3)
- 3y-3=2(x-2)
- 4y=2x-1
- 5Punktprobe: t(2)=2\cdot 2-1=3=f(2)
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Bei x_0=-2 wird aus x-x_0 der Term x-(-2)=x+2. Richtig ist y-4=-4(x+2), also y=-4x-4.
Lückentext
Die Steigung der Tangente an f bei x_0 ist . Der Berührpunkt hat den y-Wert . Beide Angaben setzt du in die ein.