Irrationale Zahlen erkennen und verstehen
Irrationale Zahlen lassen sich nicht als Bruch schreiben. Du lernst, sie zu erkennen, Wurzeln einzuordnen und zu begründen, warum √2 irrational ist.
Kurz gesagt
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch \frac pq zweier ganzer Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Beispiele sind \sqrt2\approx1{,}41421, \pi und jede Wurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist.
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Auf dieser Seite lernst du, irrationale Zahlen zu erkennen, Wurzeln einzuordnen und anzunähern und die Irrationalität von \sqrt2 zu begründen.
Deine Lernziele
Rationale Zahlen erkennst du an einer endlichen oder periodischen Dezimaldarstellung. Irrationale Zahlen haben dagegen unendlich viele Nachkommastellen ohne sich wiederholenden endlichen Ziffernblock.
Irrationale Zahl
Eine reelle Zahl ist irrational, wenn sie nicht als \frac{p}{q} mit ganzen Zahlen p und q und q\ne0 geschrieben werden kann. Die Menge der irrationalen reellen Zahlen ist \mathbb R\setminus\mathbb Q.
| Zahl | Einordnung | Begründung |
|---|---|---|
| -7 | rational | -7=\frac{-7}{1} |
| 0{,}25 | rational | 0{,}25=\frac14 |
| 0{,}\overline{3} | rational | Die Dezimaldarstellung ist periodisch. |
| \sqrt2 | irrational | Sie ist kein Quotient zweier ganzer Zahlen. |
| \pi | irrational | Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. |
Merke: „Unendlich viele Nachkommastellen“ genügt nicht als Merkmal. Eine periodische Zahl wie 0{,}333\ldots ist rational. Irrational ist eine Dezimaldarstellung nur dann, wenn sie unendlich und nicht periodisch ist.
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Für eine natürliche Zahl n gilt: Ist n eine Quadratzahl, dann ist \sqrt n eine natürliche und damit rationale Zahl. Ist n keine Quadratzahl, dann ist \sqrt n irrational. Die Regel bezieht sich hier auf Wurzeln aus natürlichen Zahlen. Auch manche Brüche oder Dezimalzahlen haben rationale Wurzeln, zum Beispiel \sqrt{\frac49}=\frac23 und \sqrt{0{,}16}=0{,}4.
Beispiel: \sqrt{25} und \sqrt{26} einordnen
- 15^2=25, also ist 25 eine Quadratzahl und \sqrt{25}=5 rational
- 225\lt 26\lt 36, also 5\lt\sqrt{26}\lt 6
- 326 ist keine Quadratzahl, also ist \sqrt{26} irrational
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Ein exakter Ausdruck wie \sqrt8 bezeichnet die Zahl vollständig. Eine endliche Dezimalzahl wie 2{,}83 ist dagegen nur eine Näherung und selbst rational. Du kannst \sqrt8 durch immer engere Intervalle einschließen. Bei jedem Schritt vergleichst du die Quadrate der Grenzen mit 8. Je enger das Intervall, desto genauer ist die Näherung.
Beispiel: \sqrt8 immer enger einschließen
- 12^2=4<8<9=3^2, also 2<\sqrt8<3
- 22{,}8^2=7{,}84<8<8{,}41=2{,}9^2, also 2{,}8<\sqrt8<2{,}9
- 32{,}82^2=7{,}9524<8<8{,}0089=2{,}83^2, also 2{,}82<\sqrt8<2{,}83
- 42{,}828^2=7{,}997584<8<8{,}003241=2{,}829^2, also 2{,}828<\sqrt8<2{,}829
Merke: Runden verändert nicht die ursprüngliche Zahl: 3{,}14 ist eine rationale Näherung für die irrationale Zahl \pi; 3{,}14 und \pi sind nicht dieselbe Zahl.
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Ein Widerspruchsbeweis beginnt mit dem Gegenteil der Behauptung. Führt diese Gegenannahme zu einem unmöglichen Ergebnis, muss die ursprüngliche Behauptung stimmen. Für \sqrt2 nimmst du also an, \sqrt2 sei rational. Ein wichtiger Zwischenschritt: Ist p^2 gerade, dann ist auch p gerade. Denn wäre p ungerade, wäre auch p^2 ungerade.
Beispiel: Beweis, dass \sqrt2 irrational ist
- 1Annahme: \sqrt2=\frac pq, vollständig gekürzt, p und q ganz, q\ne0
- 2Quadrieren: 2=\frac{p^2}{q^2}, also p^2=2q^2
- 3p^2 ist gerade, also ist auch p gerade: p=2n
- 4Einsetzen: 4n^2=2q^2, also q^2=2n^2
- 5Also ist auch q gerade, und \frac pq wäre mit 2 kürzbar: ein Widerspruch
Merke: Die Gegenannahme „\sqrt2 ist rational“ führt zum Widerspruch. Daher lässt sich \sqrt2 nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und ist irrational.
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Alles auf einen Blick
Irrationale Zahlen
reelle Zahl, die nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist
unendlich und nicht periodisch
\sqrt2, \sqrt{10}, \pi, e
natürliche Nichtquadratzahlen liefern irrationale Ergebnisse
rationale Grenzen werden schrittweise enger
Gegenannahme führt bei \sqrt2 zu einem kürzbaren Bruch
Vier Zahlen einordnen
- 1\sqrt{64}=8, weil 8^2=64: rational
- 27^2=49 und 8^2=64, also ist 50 keine Quadratzahl: \sqrt{50} ist irrational
- 3Dabei gilt 7\lt\sqrt{50}\lt 8
- 40{,}\overline{6} ist periodisch, also rational: Es ist der Bruch \frac23
- 5\sqrt{0{,}09}=0{,}3, weil 0{,}3^2=0{,}09: rational
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Unendlich viele Stellen reichen nicht: Die Ziffern 45 wiederholen sich periodisch, und \frac{5}{11} ist schon ein Bruch ganzer Zahlen. Also ist \frac{5}{11} rational.
Lückentext
Eine Zahl ist irrational, wenn ihre Dezimaldarstellung unendlich und ist. \sqrt{49} ist , weil 49 eine Quadratzahl ist. 1{,}414 ist eine von \sqrt2.