Quadratzahlen verstehen, erkennen und berechnen

Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine natürliche Zahl mit sich selbst multiplizierst. Kurz schreibst du 5² für 5 · 5 = 25. Du sprichst „fünf hoch zwei“ oder „fünf zum Quadrat“. Auch 0² = 0 zählt dazu, manche Tabellen beginnen aber erst mit 1² = 1. Der Name kommt vom Bild: 25 Plättchen kannst du zu einem Quadrat mit 5 Reihen zu je 5 legen. Verwechsle Quadrieren nicht mit Verdoppeln: 3² = 3 · 3 = 9 heißt „drei zum Quadrat“, 2 · 3 = 3 + 3 = 6 ist das Doppelte von drei.

Die Quadratzahlen bis 20² = 400 begegnen dir besonders oft. Die hochgestellte 2 sagt, dass die Zahl zweimal als Faktor vorkommt: 12² = 12 · 12 = 144. Größere Quadrate zerlegst du. Teile einen der beiden Faktoren in Zehner und Einer. Nimm beide Teile mal die ganze Zahl und addiere. Für Zahlen mit der Endziffer 5 gibt es einen kurzen Weg: Lass die 5 weg, multipliziere den Rest mit seinem Nachfolger und hänge 25 an. Bei 15² bleibt die 1, 1 · 2 = 2, also 15² = 225.

Eine Quadratzahl kann nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden. Endet eine Zahl auf 2, 3, 7 oder 8, ist sie sicher keine Quadratzahl. Die Endziffer des Quadrats hängt nur von der Endziffer der Ausgangszahl ab. Du liest sie an den Quadraten von 0 bis 9 ab. 2648 endet auf 8 und ist keine Quadratzahl. 26 hat zwar eine erlaubte Endziffer, liegt aber zwischen 5² = 25 und 6² = 36. Genauer prüfst du mit der Primfaktorzerlegung: Du schreibst die Zahl als Produkt von Primzahlen, also Zahlen mit genau zwei Teilern wie 2, 3 und 5. Der Exponent sagt, wie oft ein Faktor vorkommt. Eine Zahl größer als 1 ist genau dann eine Quadratzahl, wenn jeder Primfaktor mit einem geraden Exponenten vorkommt. Beim Quadrieren kommt nämlich jeder Primfaktor doppelt so oft vor. Außerdem haben nur Quadratzahlen eine ungerade Anzahl von Teilern. Bei 36 sind es neun: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Die 6 hat keinen anderen Partner, denn 6 · 6 = 36.

Von einer Quadratzahl zur nächsten ist der Abstand immer ungerade. Nach 6² = 36 folgt 7² = 49. Der Abstand ist 49 − 36 = 13, und das ist genau 6 + 7. So ist es immer: Der Abstand ist die Summe der beiden Grundzahlen. Beginnst du bei 0 und addierst nacheinander 1, 3, 5, 7, …, erreichst du jedes nächste Quadrat: 1, 4, 9, 16, … Die ersten vier ungeraden Zahlen ergeben 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².