Natürliche Zahlen einfach erklärt
Du lernst, welche Zahlen natürlich sind, ob die 0 dazugehört und was gerade, ungerade und Primzahlen sind. Ein Ausblick zeigt weitere Zahlenmengen.
Kurz gesagt
Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst: 1, 2, 3, 4 und so weiter. Ob die 0 dazugehört, ist eine Vereinbarung: Mit 0 schreibt man oft \mathbb N_0. Brüche wie 12, Kommazahlen wie 1,25 und Zahlen unter null wie −3 sind keine natürlichen Zahlen. Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.
Wie viele Stifte liegen in deinem Mäppchen? Welchen Platz hat deine Mannschaft erreicht? Für solche Fragen brauchst du natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, \ldots Je nach Vereinbarung gehört auch die 0 dazu. Brüche und Kommazahlen wie 1,25 sind keine natürlichen Zahlen.
Deine Lernziele
Die Punkte in 1, 2, 3, 4, \ldots bedeuten: Die Folge geht immer weiter. Natürliche Zahlen haben verschiedene Aufgaben. Du zählst mit ihnen: Auf dem Tisch liegen 6 Hefte. Du ordnest mit ihnen: Eine Läuferin erreicht Platz 3. Und du kennzeichnest mit ihnen: Die Hausnummer 27 bezeichnet ein bestimmtes Haus. Nicht natürlich sind zum Beispiel 12 und 1,25. Mit ihnen kannst du keine Dinge abzählen.
Natürliche Zahl
Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst: 1, 2, 3, 4, \ldots Je nach Vereinbarung gehört auch die 0 dazu.
Beispiel: Ist die Zahl natürlich?
- 142: eine Zählzahl ohne Komma, also natürlich
- 2\frac{42}{5} = 8{,}4: eine Kommazahl, also nicht natürlich
- 3\frac{42}{6} = 7: eine Zählzahl, also natürlich
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Dafür gibt es zwei gebräuchliche Vereinbarungen, sogenannte Konventionen: \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} oder \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} Das Zeichen \mathbb N allein verrät also nicht immer, ob die 0 gemeint ist. Beginnt \mathbb N bei 1, schreibt man für die Zahlen mit 0 oft \mathbb N_0=\{0,1,2,3,\ldots\}. Manche Bücher machen es umgekehrt: Dann enthält \mathbb N die 0, und \mathbb N^* steht für 1, 2, 3, \ldots
Merke: Prüfe bei jeder Aufgabe zuerst, welche Vereinbarung gilt. Steht nichts dabei, schreibe dazu, ob du die 0 mitzählst.
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Der Nachfolger einer natürlichen Zahl ist um 1 größer: Der Nachfolger von 17 ist 17 + 1 = 18. Zwischen 17 und 18 liegt keine weitere natürliche Zahl. Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Addierst du zu einer angeblich größten Zahl 1, erhältst du eine noch größere. Deshalb gibt es keine größte natürliche Zahl. Die kleinste hängt von der Vereinbarung ab: mit 0 ist es die 0, ohne 0 die 1. Eine Zahl ist gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist, zum Beispiel 2, 4, 6, 8. Sonst ist sie ungerade, zum Beispiel 1, 3, 5, 7.
Primzahl
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Beispiele sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Die Zahl 1 ist keine Primzahl. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl: Jede andere gerade Zahl hat außer 1 und sich selbst noch den Teiler 2, also mehr als zwei Teiler.
Beispiel: 12 und 13 einordnen
- 112 = 2 · 6: gerade
- 212 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 12: keine Primzahl
- 313 : 2 = 6 Rest 1: ungerade
- 413 hat nur die Teiler 1 und 13: Primzahl
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Später lernst du weitere Zahlenmengen kennen. Die ganzen Zahlen \mathbb Z enthalten auch Zahlen unter null wie −5, die rationalen Zahlen \mathbb Q auch Brüche wie 35. Die reellen Zahlen \mathbb R enthalten noch mehr Zahlen, die du erst viel später brauchst. Jede natürliche Zahl gehört zu all diesen Mengen; mehr dazu erklärt die Seite Zahlenmengen.
| Zahl | ℕ | ℤ | ℚ |
|---|---|---|---|
| 20 | ja | ja | ja |
| −5 | nein | ja | ja |
| 35 | nein | nein | ja |
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Alles auf einen Blick
Natürliche Zahlen
natürliche Zahlen sind Zählzahlen ohne Komma
Zugehörigkeit hängt von der Konvention ab
jede Zahl hat einen, es gibt keine größte
gerade, ungerade, Primzahl
genau zwei Teiler, die 1 ist keine
Untersuche die Zahl 15.
- 115 ist eine Zählzahl ohne Komma: natürlich
- 2Nachfolger: 15 + 1 = 16
- 315 : 2 = 7 Rest 1: ungerade
- 415 = 3 · 5: keine Primzahl
- 5Teiler von 15: 1, 3, 5 und 15
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Eine Primzahl braucht genau zwei Teiler. Die 1 hat nur einen Teiler, nämlich die 1. Deshalb ist 1 keine Primzahl.
Lückentext
Der Nachfolger von 17 ist . Die Zahl 1 ist Primzahl. Eine Zahl, die ohne Rest durch 2 teilbar ist, heißt .