Kugeloberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Kugeloberfläche berechnest du mit einer einzigen Formel. Du lernst, sie aus Radius oder Durchmesser zu bestimmen und nach dem Radius umzustellen.
Kurz gesagt
Die Oberfläche einer Kugel berechnest du mit O=4\pi r^2, wobei r der Radius ist. Kennst du den Durchmesser d, gilt direkt O=\pi d^2. Eine Kugel mit r=9\,\mathrm{cm} hat zum Beispiel O=324\pi\,\mathrm{cm^2}\approx1017{,}88\,\mathrm{cm^2}.
Ein Fußball, eine Seifenblase, die Erde: Sie alle sind ungefähr Kugeln. Wie viel Leder steckt in der Hülle eines Balls? Das beantwortet die Kugeloberfläche. Du berechnest sie mit O=4\pi r^2. Kennst du stattdessen den Durchmesser d, kannst du direkt O=\pi d^2 verwenden. Hier lernst du beide Wege, stellst die Formel nach dem Radius um und siehst, wie stark die Oberfläche beim Vergrößern wächst.
Deine Lernziele
Eine Kugel hat keine Ecken und Kanten. Alle Punkte ihrer Oberfläche haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius r. Der Durchmesser d verläuft durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kugel zur gegenüberliegenden. Er ist doppelt so lang wie der Radius: d=2r. Umgekehrt gilt r=\frac{d}{2}.
Kugeloberfläche
Die Kugeloberfläche ist die gesamte äußere Fläche der Kugel. Ihr Flächeninhalt heißt O und wird in Quadrateinheiten wie cm² oder m² angegeben.
Merke: Radius und Durchmesser sind Längen. Die Oberfläche ist eine Fläche. Deshalb muss ihre Einheit quadriert sein.
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Für eine Kugel mit Radius r gilt O=4\pi r^2. Die Kugeloberfläche ist also viermal so groß wie die Fläche eines Kreises mit demselben Radius. Gehe in dieser Reihenfolge vor: Quadriere den Radius samt Einheit. Multipliziere mit 4 und \pi. Runde erst am Ende, wenn eine Näherung verlangt ist. Prüfe, ob das Ergebnis eine Quadrateinheit hat.
Beispiel: Kugel mit r=9\,\mathrm{cm}
- 1(9\,\mathrm{cm})^2=81\,\mathrm{cm^2}
- 2O=4\pi\cdot81\,\mathrm{cm^2}=324\pi\,\mathrm{cm^2}
- 3O\approx1017{,}88\,\mathrm{cm^2}
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Ist der Durchmesser gegeben, kannst du zuerst r=d:2 berechnen. Schneller geht es mit der gleichwertigen Formel O=\pi d^2. Denn aus r=\frac{d}{2} folgt O=4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=4\pi\cdot\frac{d^2}{4}=\pi d^2.
Beispiel: Kugel mit d=8\,\mathrm{m}
- 1O=\pi\cdot(8\,\mathrm{m})^2
- 2O=64\pi\,\mathrm{m^2}\approx201{,}06\,\mathrm{m^2}
Merke: O=4\pi r^2 braucht den Radius, O=\pi d^2 den Durchmesser. Setze nie den Durchmesser in die Radiusformel ein.
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Ist O gegeben, stellst du O=4\pi r^2 nach r um. Teile zuerst durch 4\pi: r^2=\frac{O}{4\pi}. Ziehe dann die Quadratwurzel: r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}. Für eine Länge nimmst du nur die nichtnegative Lösung. Die Oberfläche hängt vom Quadrat des Radius ab. Wird der Radius mit dem Faktor k vervielfacht, wächst die Oberfläche mit dem Faktor k^2.
Beispiel: Radius bei O=64\pi\,\mathrm{cm^2}
- 1r^2=\frac{64\pi\,\mathrm{cm^2}}{4\pi}=16\,\mathrm{cm^2}
- 2r=\sqrt{16\,\mathrm{cm^2}}=4\,\mathrm{cm}
Merke: Doppelter Radius bedeutet vierfache Oberfläche. Dreifacher Radius bedeutet neunfache Oberfläche.
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Alles auf einen Blick
Oberfläche Kugel
d=2r und r=\frac{d}{2}.
O=4\pi r^2.
O=\pi d^2.
r=\sqrt{\frac{O}{4\pi}}.
Der Radiusfaktor wird quadriert.
positive Zahl mit Quadrateinheit.
Die Erde ist ungefähr eine Kugel mit dem Radius 6.371 km. Wie groß ist ihre Oberfläche?
- 1O=4\pi r^2
- 2r² = (6.371 km)² = 40.589.641 km²
- 3O = 4π · 40.589.641 km² ≈ 510.064.472 km²
- 4Die Erdoberfläche ist also ungefähr 510 Millionen km² groß.
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Fehler in Zeile 2In O=4\pi r^2 steht der Radius: r=10\,\mathrm{cm}:2=5\,\mathrm{cm}. Richtig ist O=4\pi\cdot25\,\mathrm{cm^2}=100\pi\,\mathrm{cm^2}\approx314{,}16\,\mathrm{cm^2}.
Lückentext
Bei der Kugeloberfläche wird der Radius . Ist der Durchmesser gegeben, gilt . Verdoppelst du den Radius, wird die Oberfläche so groß.