Kegelvolumen berechnen: Formel und Beispiele
Radius, senkrechte Höhe, ein Drittel: Du lernst die Kegelformel, rechnest mit Durchmesser und Einheiten und stellst die Formel nach der Höhe um.
Kurz gesagt
Das Volumen eines Kegels ist ein Drittel von Grundfläche mal senkrechter Höhe: V=\frac{1}{3}\pi r^2h. Ein Kegel mit r=3\,\mathrm{cm} und h=12\,\mathrm{cm} hat also V=36\pi\,\mathrm{cm}^3\approx113{,}1\,\mathrm{cm}^3. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst du ihn zuerst.
Das Volumen eines geraden Kreiskegels berechnest du mit einem Drittel aus Grundfläche mal senkrechter Höhe: V=\frac{1}{3}\pi r^2h Dabei sind r der Radius der kreisförmigen Grundfläche und h die senkrechte Höhe. Auf dieser Seite lernst du, die Formel zu verstehen, Angaben richtig einzusetzen und Ergebnisse zu prüfen.
Deine Lernziele
Der hier behandelte gerade Kreiskegel besitzt eine kreisförmige Grundfläche. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt dieses Kreises. Die schräge Strecke von der Spitze zum Kreisrand heißt Seitenhöhe oder Mantellinie s. Für die Volumenformel brauchst du sie nicht.
Radius und Höhe
Der Radius r reicht vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zu ihrem Rand. Die Höhe h verläuft senkrecht von der Grundfläche zur Spitze.
Merke: Verwechsle die senkrechte Höhe h nicht mit der schrägen Seitenhöhe s. In V=\frac{1}{3}\pi r^2h steht ausschließlich h.
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Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis. Deshalb gilt: G=\pi r^2 Ein Zylinder mit derselben Grundfläche und derselben Höhe hat das Volumen G\cdot h. Drei entsprechende Kegelvolumina ergeben dieses Zylindervolumen. Daher wird durch drei geteilt: V=\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^2h
Merke: Kegelvolumen = ein Drittel · Kreisfläche · senkrechte Höhe.
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Du rechnest in vier Schritten: Formel aufschreiben, Werte mit Einheiten einsetzen, Radius quadrieren und ausrechnen, Ergebnis prüfen. In Sachaufgaben ist manchmal der Durchmesser d gegeben. Er reicht über den ganzen Kreis und ist doppelt so groß wie der Radius: r=\frac{d}{2}. Rechne außerdem alle Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um. Zentimeter und Meter dürfen nicht unverändert in derselben Volumenrechnung stehen.
Beispiel: Kegel mit r=5\,\mathrm{cm} und h=10\,\mathrm{cm}
- 1Formel: V=\frac{1}{3}\pi r^2h
- 2Einsetzen: V=\frac{1}{3}\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2\cdot10\,\mathrm{cm}
- 3Quadrieren: V=\frac{1}{3}\pi\cdot25\,\mathrm{cm}^2\cdot10\,\mathrm{cm}
- 4V=\frac{250}{3}\pi\,\mathrm{cm}^3\approx261{,}8\,\mathrm{cm}^3
- 5Probe: \mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm}^3, also eine Kubikeinheit
Beispiel: Acht Eiswaffeln mit d=6\,\mathrm{cm} und h=12\,\mathrm{cm}
- 1Radius: r=6\,\mathrm{cm}:2=3\,\mathrm{cm}
- 2Eine Waffel: V=\frac{1}{3}\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2\cdot12\,\mathrm{cm}=36\pi\,\mathrm{cm}^3\approx113{,}1\,\mathrm{cm}^3
- 3Acht Waffeln: 8\cdot113{,}1\,\mathrm{cm}^3\approx905\,\mathrm{cm}^3
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Sind Volumen und Radius bekannt, kannst du die Höhe bestimmen. Ausgangspunkt ist: V=\frac{1}{3}\pi r^2h Multipliziere zuerst mit 3 und teile danach durch \pi r^2: h=\frac{3V}{\pi r^2}
Beispiel: Höhe für V=150\pi\,\mathrm{cm}^3 und r=5\,\mathrm{cm}
- 1h=\frac{3V}{\pi r^2}=\frac{3\cdot150\pi\,\mathrm{cm}^3}{\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2}
- 2h=\frac{450\pi\,\mathrm{cm}^3}{25\pi\,\mathrm{cm}^2}=18\,\mathrm{cm}
- 3Einheitenprobe: \mathrm{cm}^3:\mathrm{cm}^2=\mathrm{cm}
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Alles auf einen Blick
Volumen Kegel
Radius r und senkrechte Höhe h
G=\pi r^2
V=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{3}\pi r^2h
Durchmesser halbieren und Einheiten angleichen
in Kubikeinheiten angeben
h=\frac{3V}{\pi r^2}
Ein kegelförmiges Glas mit r=4\,\mathrm{cm} soll 0{,}2\,\mathrm{l} fassen. Wie hoch muss es innen sein?
- 1Volumen umrechnen: 0{,}2\,\mathrm{l}=200\,\mathrm{cm}^3
- 2Formel umstellen: h=\frac{3V}{\pi r^2}
- 3Einsetzen: h=\frac{3\cdot200\,\mathrm{cm}^3}{\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2}=\frac{600}{16\pi}\,\mathrm{cm}
- 4h\approx11{,}9\,\mathrm{cm}
- 5Das Glas muss innen knapp 12\,\mathrm{cm} hoch sein.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Eingesetzt wurde der Durchmesser. In die Formel gehört r=10\,\mathrm{cm}:2=5\,\mathrm{cm}. Richtig: V=\frac{1}{3}\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2\cdot6\,\mathrm{cm}=50\pi\,\mathrm{cm}^3\approx157{,}1\,\mathrm{cm}^3.
Lückentext
Beim Berechnen des Kegelvolumens wird der Radius . Anschließend wird mit der multipliziert. Zum Schluss gehört zum Ergebnis eine .