Pfadregeln: Baumdiagramme sicher berechnen
Mit zwei Regeln rechnest du jedes Baumdiagramm aus. Du lernst Knoten-, Produkt- und Summenregel, Ziehen ohne Zurücklegen und das Gegenereignis.
Kurz gesagt
Die Pfadregeln sind die Rechenregeln im Baumdiagramm. Produktregel: Entlang eines Pfades multiplizierst du die Astwahrscheinlichkeiten, etwa \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. Summenregel: Gehören mehrere Pfade zum Ereignis, addierst du ihre Ergebnisse.
Zweimal eine Münze werfen, zwei Kugeln aus einer Urne ziehen, fünfmal würfeln: Solche Experimente mit mehreren Schritten zeichnest du als Baumdiagramm. Mit den Pfadregeln rechnest du daraus Wahrscheinlichkeiten aus. Entlang eines Pfades wird multipliziert, mehrere günstige Pfade werden addiert. Hier lernst du auch, was sich ohne Zurücklegen ändert und wann das Gegenereignis Arbeit spart.
Deine Lernziele
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren Zufallsschritten nacheinander, zum Beispiel zwei Münzwürfen oder zwei Ziehungen aus einer Urne. Das Baumdiagramm zeigt an jeder Stufe die möglichen Ausgänge. An jedem Knoten gilt die Knotenregel: Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die dort ausgehen, ergeben zusammen 1, also 100 %. Bei einer fairen Münze gilt an jedem Knoten P(\text{Kopf}) + P(\text{Zahl}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. Fehlt eine Astwahrscheinlichkeit, ergänzt du auf 1: Hat ein Ast 0,4 und gibt es nur einen weiteren, hat dieser 1 − 0,4 = 0,6.
Ast, Knoten und Pfad
Ein Ast steht für einen möglichen Ausgang des nächsten Schrittes. An einem Knoten beginnt eine neue Verzweigung. Ein vollständiger Pfad führt vom Anfang bis zu einem Endergebnis und hält die Reihenfolge der Ausgänge fest.
Merke: Prüfe zuerst jeden Knoten. Ergeben die ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten nicht 1, ist das Baumdiagramm falsch beschriftet.
Teste dich
Ein Pfad beschreibt mehrere Ergebnisse, die nacheinander eintreten. Für seine Wahrscheinlichkeit gilt die Produktregel: Multipliziere alle Astwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Ein Ereignis kann aber mehrere Pfade umfassen. Dann berechnest du zuerst jeden günstigen Pfad mit der Produktregel und addierst danach die Ergebnisse. Das ist die Summenregel. Achte auf die Reihenfolge: „eine rote und eine blaue Kugel“ umfasst meist „rot, dann blau“ und „blau, dann rot“.
Beispiel: Zwei Elfmeter mit Trefferquote 0,8: genau ein Treffer
- 1Treffer T mit 0,8, daneben D mit 1 − 0,8 = 0,2
- 2Günstige Pfade: TD und DT
- 3P(TD) = 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}16
- 4P(DT) = 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}16
- 5Summenregel: 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32, also 32 %
Merke: Ein Pfad: multiplizieren. Mehrere günstige Pfade: die Produkte addieren. „Und danach“ weist oft auf einen Pfad hin. Mehrere mögliche Reihenfolgen verlangen meist die Summenregel.
Teste dich
Ob eine gezogene Kugel zurückgelegt wird, bestimmt die Astwahrscheinlichkeiten der nächsten Stufe. Mit Zurücklegen bleibt die Urne gleich, also auch die Wahrscheinlichkeiten in jeder Stufe. Ohne Zurücklegen bleibt die gezogene Kugel draußen. Gesamtzahl und Zusammensetzung ändern sich, und die nächste Wahrscheinlichkeit hängt vom bisherigen Pfad ab. Die Pfadregeln selbst bleiben gleich. Ohne Zurücklegen gilt bei 4 grünen, 1 weißen und 5 schwarzen Kugeln für „eine grüne und eine weiße“: P = \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}.
Beispiel: 4 grüne, 1 weiße und 5 schwarze Kugeln: zwei grüne ziehen
- 1Ohne Zurücklegen: danach 3 grüne unter 9 Kugeln
- 2P(gg) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}, also etwa 13,3 %
- 3Mit Zurücklegen: wieder 4 grüne unter 10 Kugeln
- 4P(gg) = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}, also 16 %
| Mit Zurücklegen | Ohne Zurücklegen | |
|---|---|---|
| Urneninhalt | bleibt gleich | wird kleiner |
| Astwahrscheinlichkeiten | in jeder Stufe gleich | hängen vom bisherigen Pfad ab |
| Nenner | bleibt gleich | sinkt pro Zug um 1 |
Teste dich
Bei „mindestens einmal Erfolg“ gibt es oft sehr viele günstige Pfade. Das Gegenereignis ist meist viel kürzer: „kein einziges Mal Erfolg“ ist nur ein Pfad. Du rechnest diesen Pfad aus und ziehst ihn von 1 ab. Nutze das Gegenereignis aber nicht automatisch bei jedem „mindestens“ oder „höchstens“. Prüfe zuerst, ob es wirklich weniger Pfade braucht.
Gegenereignis
Das Gegenereignis \overline{E} enthält genau die Ergebnisse, die nicht zu E gehören. Zusammen ergeben beide das sichere Ereignis. Daher gilt P(E) = 1 - P(\overline{E}).
Beispiel: Fünfmal würfeln: mindestens eine 6
- 1Gegenereignis: in allen fünf Würfen keine 6
- 2Pro Wurf: P(\text{keine 6}) = \frac{5}{6}
- 3P(\text{fünfmal keine 6}) = \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776}
- 4P(\text{mindestens eine 6}) = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776} \approx 59{,}8\,\%
- 5Plausibel: größer als \frac{1}{6} bei nur einem Wurf
Teste dich
Alles auf einen Blick
Pfadregeln
Die ausgehenden Wahrscheinlichkeiten ergeben 1
Astwahrscheinlichkeiten multiplizieren
günstige Pfade addieren
Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich
Die Wahrscheinlichkeiten passen sich dem Rest an
1 minus „kein einziges Mal“
5 blaue und 2 weiße Kugeln, zwei Züge ohne Zurücklegen: verschiedene Farben
- 1Günstige Pfade: bw und wb
- 2P(bw) = \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{10}{42}
- 3P(wb) = \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{42}
- 4Summenregel: \frac{10}{42} + \frac{10}{42} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}
- 5Das sind etwa 47,6 %.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Ohne Zurücklegen liegen nach der ersten roten Kugel nur noch 3 rote unter 5 Kugeln. Richtig ist P(rr) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}.
Lückentext
Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten . Die Ergebnisse mehrerer günstiger Pfade werden . An jedem Knoten ergeben die Astwahrscheinlichkeiten zusammen .