Platonische Körper: Die fünf Formen verstehen
Es gibt genau fünf perfekt regelmäßige Körper. Du lernst, sie zu erkennen, zu unterscheiden, ihre Kanten zu zählen und zu begründen, warum es nur fünf sind.
Kurz gesagt
Platonische Körper sind Körper ohne Dellen, deren Flächen alle gleich große regelmäßige Vielecke sind und an deren Ecken immer gleich viele Flächen zusammentreffen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.
Nimm einen Spielwürfel in die Hand: Alle sechs Flächen sind gleich große Quadrate, und an jeder Ecke treffen drei davon zusammen. So perfekt regelmäßig sind nur wenige Körper. Man nennt sie platonische Körper, und es gibt genau fünf davon. Hier lernst du, woran du sie erkennst, wie du Ecken und Kanten zählst und warum es nicht mehr gibt.
Deine Lernziele
Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus ebenen Vielecken besteht. Kugeln und Kegel sind keine Polyeder, weil sie gekrümmte Flächen haben. Konvex bedeutet: Der Körper hat keine nach innen springenden Ecken oder Kanten, also keine Dellen. Verbindest du zwei Punkte im Inneren, liegt auch die ganze Verbindungsstrecke im Körper. Eine quadratische Pyramide ist nicht platonisch: Ihre Grundfläche ist ein Quadrat, ihre Seitenflächen sind Dreiecke. Die Flächen sind also nicht alle deckungsgleich.
Platonischer Körper
Ein platonischer Körper ist ein konvexes Polyeder, dessen Flächen deckungsgleiche regelmäßige Vielecke sind. Deckungsgleich (Fachwort: kongruent) bedeutet: Die Flächen passen genau aufeinander. Regelmäßig bedeutet: Alle Seiten und alle Innenwinkel eines Vielecks sind gleich groß. Außerdem treffen an jeder Ecke gleich viele Flächen zusammen.
Merke: Gleiche Kantenlängen allein reichen nicht. Entscheidend sind deckungsgleiche regelmäßige Flächen, dieselbe Anordnung an jeder Ecke und keine Dellen.
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Die Namen verraten die Zahl der Flächen: „tetra“ heißt vier, „hexa“ sechs, „okta“ acht, „dodeka“ zwölf und „ikosa“ zwanzig. Drei Körper bestehen aus gleichseitigen Dreiecken. Du unterscheidest sie daran, wie viele Dreiecke an einer Ecke zusammentreffen: drei beim Tetraeder, vier beim Oktaeder, fünf beim Ikosaeder. Für alle fünf gilt die eulersche Polyederformel: Ecken − Kanten + Flächen = 2. Beim Oktaeder: 6 − 12 + 8 = 2. Verbindest du die Mittelpunkte benachbarter Flächen, entsteht innen der Dualkörper. Dabei tauschen Ecken und Flächen ihre Rollen, die Kantenzahl bleibt gleich. Dualpaare sind Würfel und Oktaeder sowie Dodekaeder und Ikosaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.
| Körper | Flächenform | Ecken | Kanten | Flächen | Flächen je Ecke |
|---|---|---|---|---|---|
| Tetraeder | gleichseitiges Dreieck | 4 | 6 | 4 | 3 |
| Würfel (Hexaeder) | Quadrat | 8 | 12 | 6 | 3 |
| Oktaeder | gleichseitiges Dreieck | 6 | 12 | 8 | 4 |
| Dodekaeder | regelmäßiges Fünfeck | 20 | 30 | 12 | 3 |
| Ikosaeder | gleichseitiges Dreieck | 12 | 30 | 20 | 5 |
Beispiel: Welcher Körper ist das?
- 1Gegeben: 8 gleichseitige Dreiecke, an jeder Ecke treffen 4 zusammen
- 2Tabelle: Das ist das Oktaeder.
- 3Es hat 6 Ecken und 12 Kanten.
- 4Probe mit Euler: 6 − 12 + 8 = 2
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An einer räumlichen Ecke treffen mindestens drei Flächen zusammen. Ihre Innenwinkel müssen zusammen weniger als 360° ergeben. Bei genau 360° liegen die Flächen flach in einer Ebene. Gleichseitige Dreiecke haben 60°, Quadrate 90°, regelmäßige Fünfecke 108°. Regelmäßige Sechsecke haben 120°, schon drei ergeben 360°. Vielecke mit noch mehr Ecken haben noch größere Innenwinkel und scheiden ebenfalls aus. So bleiben höchstens fünf Möglichkeiten für eine Ecke. Zu jeder davon gibt es einen geschlossenen Körper, also existieren genau fünf platonische Körper.
| Flächen an einer Ecke | Winkelsumme | Ergebnis |
|---|---|---|
| 3 Dreiecke | 3 · 60° = 180° | Tetraeder |
| 4 Dreiecke | 4 · 60° = 240° | Oktaeder |
| 5 Dreiecke | 5 · 60° = 300° | Ikosaeder |
| 6 Dreiecke | 6 · 60° = 360° | eben, keine Ecke |
| 3 Quadrate | 3 · 90° = 270° | Würfel |
| 4 Quadrate | 4 · 90° = 360° | eben, keine Ecke |
| 3 Fünfecke | 3 · 108° = 324° | Dodekaeder |
| 3 Sechsecke | 3 · 120° = 360° | eben, keine Ecke |
Merke: Für eine räumliche Ecke brauchst du mindestens drei Flächen und eine Winkelsumme unter 360°.
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Beim Würfel kannst du beides schon jetzt: Seine Oberfläche besteht aus 6 gleichen Quadraten, sein Volumen ist Kantenlänge mal Kantenlänge mal Kantenlänge. Die Oberfläche gibst du in Quadrateinheiten wie cm² an, das Volumen in Kubikeinheiten wie cm³. Für die anderen vier platonischen Körper brauchst du Formeln mit Wurzeln, die du erst in höheren Klassen kennenlernst, zum Beispiel auf der Seite Tetraeder. Wie du beim Würfel rechnest, zeigen dir genauer die Seiten Oberfläche Würfel und Volumen Würfel.
Beispiel: Würfel mit der Kantenlänge 10 cm
- 1Eine Fläche: 10 cm · 10 cm = 100 cm²
- 2Oberfläche: 6 · 100 cm² = 600 cm²
- 3Volumen: 10 cm · 10 cm · 10 cm = 1000 cm³
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Alles auf einen Blick
Platonische Körper
konvex, deckungsgleiche regelmäßige Flächen, gleiche Anordnung an jeder Ecke
Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder
Ecken − Kanten + Flächen = 2
mindestens drei Flächen je Ecke, Winkelsumme unter 360°
Ecken und Flächen tauschen, die Kantenzahl bleibt
Wie viele Kanten und Ecken hat ein Ikosaeder?
- 1Das Ikosaeder besteht aus 20 gleichseitigen Dreiecken, an jeder Ecke treffen 5 zusammen.
- 2Alle Dreiecke haben zusammen 20 · 3 = 60 Seiten und genauso 60 Dreiecksecken.
- 3Jede Kante gehört zu zwei Dreiecken: 60 : 2 = 30 Kanten.
- 4An jeder Körperecke treffen 5 Dreiecksecken zusammen: 60 : 5 = 12 Ecken.
- 5Probe mit Euler: 12 − 30 + 20 = 2
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Jede Kante gehört zu zwei Dreiecken und wurde doppelt gezählt. Richtig: 24 : 2 = 12 Kanten. Dann stimmt auch die Probe: 6 − 12 + 8 = 2.
Lückentext
Ein platonischer Körper besteht aus regelmäßigen Vielecken. An einer Ecke müssen die Innenwinkel zusammen als 360° ergeben. Es gibt genau platonische Körper.