Schnittgerade zweier Ebenen berechnen
Zwei Ebenen schneiden sich, wenn ihre Normalenvektoren nicht parallel sind. Du lernst, die Schnittgerade zu berechnen und zu prüfen.
Kurz gesagt
Die Schnittgerade zweier Ebenen besteht aus allen Punkten, die beide Ebenengleichungen erfüllen. Es gibt sie genau dann, wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind. Du löst das Gleichungssystem, wählst eine Variable als Parameter, etwa y=\lambda, und schreibst \vec x=\vec p+\lambda\vec u.
Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Um diese Schnittgerade zu bestimmen, löst du beide Ebenengleichungen gleichzeitig. Eine Variable bleibt frei und wird zum Parameter der Geraden.
Deine Lernziele
Eine Ebene in Koordinatenform hat die Gestalt E: ax+by+cz=d. Der Vektor \vec n=(a,b,c)^T steht senkrecht auf der Ebene und heißt Normalenvektor. Für zwei Ebenen gibt es drei mögliche Lagebeziehungen: Sind die Normalenvektoren nicht parallel, schneiden sich die Ebenen in genau einer Geraden. Sind die Normalenvektoren parallel und die vollständigen Ebenengleichungen Vielfache voneinander, sind die Ebenen identisch. Sind nur die Normalenvektoren parallel, nicht aber die vollständigen Gleichungen, sind die Ebenen echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt.
Merke: Eine Schnittgerade gibt es genau dann, wenn die Normalenvektoren nicht parallel sind.
Teste dich
Der Grundgedanke lautet: Finde alle Punkte, die beide Ebenengleichungen erfüllen. Bei zwei Koordinatenformen löst du zwei Gleichungen mit drei Variablen. Bei schneidenden Ebenen bleibt eine Variable frei. Setze sie gleich einem Parameter, zum Beispiel y=\lambda, drücke die beiden anderen Variablen durch \lambda aus und ordne das Ergebnis als Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor. Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, setzt du ihre drei Koordinatenausdrücke in die Koordinatengleichung ein, löst nach einem Ebenenparameter auf und setzt zurück. Bei zwei Parameterformen setzt du die Gleichungen gleich: drei Gleichungen mit vier Parametern, von denen einer frei bleibt.
Freier Parameter
Ein freier Parameter darf alle reellen Zahlen annehmen. Jeder seiner Werte liefert einen anderen Punkt der Schnittgeraden.
Beispiel: Schnittgerade von E_1: x-y=-1 und E_2: -y+z=2
- 1Normalenvektoren \vec n_1=(1,-1,0)^T und \vec n_2=(0,-1,1)^T: nicht parallel
- 2Freie Variable: y=\lambda
- 3Aus x-y=-1 folgt x=\lambda-1.
- 4Aus -y+z=2 folgt z=\lambda+2.
- 5\vec x=\begin{pmatrix}\lambda-1\\ \lambda\\ \lambda+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
- 6Stützpunkt P(-1 \mid 0 \mid 2), Richtungsvektor (1,1,1)^T
Teste dich
Eine Geradengleichung hat die Form g: \vec x=\vec p+t\vec u. Dabei ist \vec p der Stützvektor eines gemeinsamen Punktes und \vec u ein Richtungsvektor. Prüfe in zwei Schritten: Setze den Stützpunkt in beide Ebenengleichungen ein. Dann prüfe, ob der Richtungsvektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren steht, also \vec n_1\cdot\vec u=0 und \vec n_2\cdot\vec u=0. Alternativ liefert das Kreuzprodukt eine Richtung: \vec n_1\times\vec n_2=(-1,-1,-1)^T zeigt entgegengesetzt zu (1,1,1)^T und beschreibt dieselbe Gerade. Typische Fehler: nur einen Punkt angeben, parallele Normalen sofort als identische Ebenen deuten oder zwei verschiedene Geradengleichungen für verschiedene Geraden halten. Stützpunkte dürfen verschieden sein, und jedes von null verschiedene Vielfache des Richtungsvektors beschreibt dieselbe Richtung.
Beispiel: Probe für das Beispiel
- 1Stützpunkt (-1,0,2) in E_1: -1-0=-1
- 2Stützpunkt in E_2: -0+2=2
- 3\vec n_1\cdot\vec u=1-1+0=0
- 4\vec n_2\cdot\vec u=0-1+1=0
- 5Beide Proben stimmen: Die Gerade liegt in beiden Ebenen.
Merke: Ein Stützpunkt in beiden Ebenen reicht nicht. Auch der Richtungsvektor muss senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Schnittgerade zweier Ebenen
nicht parallele Normalenvektoren bedeuten eine Schnittgerade
beide Ebenengleichungen gleichzeitig lösen
eine Variable frei wählen, etwa y=\lambda
Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor
Punkt in beide Ebenen, Richtung senkrecht zu beiden Normalen
Schnittgerade von E_1: x+y+z=4 und E_2: x-z=0
- 1\vec n_1=(1,1,1)^T und \vec n_2=(1,0,-1)^T sind nicht parallel: Es gibt eine Schnittgerade.
- 2Setze z=\lambda. Aus x-z=0 folgt x=\lambda.
- 3In E_1: \lambda+y+\lambda=4, also y=4-2\lambda.
- 4g: \vec x=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}
- 5Probe: 0+4+0=4 und 0-0=0; \vec n_1\cdot\vec u=1-2+1=0 und \vec n_2\cdot\vec u=1+0-1=0
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Beim Auflösen kippte das Vorzeichen. Aus -\lambda+z=3 folgt z=\lambda+3, also g: \vec x=(1,0,3)^T+\lambda(1,1,1)^T.
Lückentext
Wählst du y=1, folgt aus x-1=-1 der Wert x = und aus -1+z=2 der Wert z = . Zur Probe muss der Richtungsvektor zu beiden Normalenvektoren stehen.