Sigma-Regeln: Intervalle und Wahrscheinlichkeiten
Die Sigma-Regeln sagen, wie viel Wahrscheinlichkeit nahe am Erwartungswert liegt. Du lernst, Intervalle und Randwahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Kurz gesagt
Die Sigma-Regeln geben für eine Normalverteilung an, wie wahrscheinlich ein Wert in einem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert \mu liegt: in [\mu - \sigma;\,\mu + \sigma] etwa 68,3 %, bei 2\sigma Abstand etwa 95,4 % und bei 3\sigma etwa 99,7 %.
Die Sigma-Regeln geben näherungsweise an, wie viel Wahrscheinlichkeit in einem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert liegt. Kennst du den Erwartungswert \mu und die Standardabweichung \sigma, kannst du damit Intervalle, Randwahrscheinlichkeiten und unbekannte Größen bestimmen.
Deine Lernziele
Bei einer Normalverteilung bezeichnet \mu den Erwartungswert, also die Mitte der Glockenkurve. Die Standardabweichung \sigma beschreibt, wie stark die Werte um diese Mitte streuen. Je größer der Sigma-Faktor ist, desto breiter ist das Intervall und desto mehr Wahrscheinlichkeit enthält es.
Sigma-Umgebung
Die k-Sigma-Umgebung ist das symmetrische Intervall [\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]. Beide Grenzen haben vom Erwartungswert denselben Abstand k\sigma.
| Umgebung | Intervall | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 1 Sigma | [\mu-\sigma;\mu+\sigma] | ungefähr 68{,}3\% |
| 2 Sigma | [\mu-2\sigma;\mu+2\sigma] | ungefähr 95{,}4\% |
| 3 Sigma | [\mu-3\sigma;\mu+3\sigma] | ungefähr 99{,}7\% |
Beispiel: 1-Sigma-Umgebung bei Erwartungswert 15 und Standardabweichung 7
- 1[15-7;15+7]=[8;22]
- 2P(8 \le X \le 22) \approx 0{,}683
- 3Ein Wert liegt also mit etwa 68,3 % Wahrscheinlichkeit höchstens eine Standardabweichung von 15 entfernt.
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Die Glockenkurve einer Normalverteilung ist symmetrisch zur Geraden x=\mu. Deshalb besitzt jede Hälfte einer zentralen Sigma-Umgebung die Hälfte ihrer Wahrscheinlichkeit. Außerhalb der zentralen Umgebung liegt die Gegenwahrscheinlichkeit. Auch sie verteilt sich gleichmäßig auf den linken und den rechten Rand. Für eine zentrale Wahrscheinlichkeit q liegt zwischen \mu und einer Grenze also \frac{q}{2}, in jedem äußeren Rand \frac{1-q}{2}.
Beispiel: Lebensdauer über 3500 Stunden
- 1\mu = 2500\,\mathrm{h}, \sigma = 500\,\mathrm{h}
- 23500 = 2500 + 2 \cdot 500: Die Grenze liegt 2\sigma über \mu.
- 3Außerhalb der 2-Sigma-Umgebung: 1 - 0{,}954 = 0{,}046
- 4Oberer Rand: P(X > 3500) \approx \frac{0{,}046}{2} = 0{,}023, also etwa 2,3 %
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Nicht jede häufig verwendete zentrale Wahrscheinlichkeit gehört genau zu 1, 2 oder 3 Sigma. Für 90 %, 95 % und 99 % gibt es eigene Faktoren k. Unterscheide genau: 2\sigma gehören zu ungefähr 95,4 %, 1{,}96\sigma zu ungefähr 95 %. Die Werte liegen nah beieinander, sind aber nicht gleich. Du kannst auch rückwärts rechnen: Bestimme den Abstand d einer Intervallgrenze vom Erwartungswert. Dann gilt d = k \cdot \sigma, und du stellst nach der gesuchten Größe um.
| Zentrale Wahrscheinlichkeit | Faktor k | Intervall |
|---|---|---|
| ungefähr 90\% | 1{,}64 | [\mu-1{,}64\sigma;\mu+1{,}64\sigma] |
| ungefähr 95\% | 1{,}96 | [\mu-1{,}96\sigma;\mu+1{,}96\sigma] |
| ungefähr 99\% | 2{,}58 | [\mu-2{,}58\sigma;\mu+2{,}58\sigma] |
Beispiel: 90-Prozent-Intervall bei Erwartungswert 300 und Standardabweichung 60
- 1Faktor: k = 1{,}64
- 2Abstand: 1{,}64 \cdot 60 = 98{,}4
- 3Intervall: [300-98{,}4;300+98{,}4]=[201{,}6;398{,}4]
- 4Jeder Rand: \frac{1 - 0{,}90}{2} = 0{,}05, also 5 %
Beispiel: Standardabweichung für Tennisschläger
- 1Ungefähr 95 % der Schläger sollen im Bereich 270\,\mathrm{g} \pm 7\,\mathrm{g} liegen.
- 2Faktor für 95 %: k = 1{,}96, Abstand d = 7\,\mathrm{g}
- 31{,}96 \cdot \sigma = 7\,\mathrm{g}
- 4\sigma = \frac{7\,\mathrm{g}}{1{,}96} \approx 3{,}57\,\mathrm{g}
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Für eine Binomialverteilung mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p gilt \mu = np und \sigma = \sqrt{np(1-p)}. Die Sigma-Regeln sind hier nur eine Näherung durch eine Normalverteilung. Nach der Laplace-Bedingung soll dafür \sigma > 3 gelten. Weil eine Binomialvariable nur ganze Zahlen annimmt, übersetzt du die reellen Grenzen am Ende in die enthaltenen ganzen Zahlen.
Beispiel: Binomialverteilung mit n = 50 und p = 0,3
- 1\mu = 50 \cdot 0{,}3 = 15
- 2\sigma = \sqrt{50 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} \approx 3{,}24, also \sigma > 3: Die Näherung ist erlaubt.
- 32-Sigma-Umgebung: [15-2 \cdot 3{,}24;15+2 \cdot 3{,}24]=[8{,}52;21{,}48]
- 4Ganze Werte darin: 9, 10, …, 21
- 5Exakt gilt P(9 \le X \le 21) \approx 0{,}9566, die Sigma-Regel liefert 0{,}954.
Merke: Prüfe bei einer Binomialverteilung zuerst \sigma>3. Übersetze danach reelle Intervallgrenzen in die tatsächlich enthaltenen ganzen Zahlen.
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Alles auf einen Blick
Sigma-Regeln
\mu ist die Mitte, \sigma beschreibt die Streuung
1, 2 und 3 Sigma enthalten etwa 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %
zentrale und äußere Wahrscheinlichkeiten halbieren
1,64 für 90 %, 1,96 für 95 %, 2,58 für 99 %
d = k \cdot \sigma nach der gesuchten Größe umstellen
erst \sigma > 3 prüfen, dann ganzzahlige Grenzen
Normalverteilte Körpergrößen
- 1\mu = 170\,\mathrm{cm}, \sigma = 8\,\mathrm{cm}
- 22-Sigma-Umgebung: [170-16;170+16]=[154;186], darin liegen etwa 95,4 %
- 3Über 186 cm: \frac{1 - 0{,}954}{2} = 0{,}023, also etwa 2,3 %
- 495-Prozent-Intervall: Abstand 1{,}96 \cdot 8 = 15{,}68
- 5[170-15{,}68;170+15{,}68]=[154{,}32;185{,}68]
Fehler finden
Fehler in Zeile 40,003 ist die Wahrscheinlichkeit für beide Ränder zusammen. Wegen der Symmetrie entfällt auf den oberen Rand nur die Hälfte: P(X > 98) \approx \frac{0{,}003}{2} = 0{,}0015.
Lückentext
Die 1-Sigma-Umgebung enthält ungefähr der Wahrscheinlichkeit. Für ein zentrales 95-Prozent-Intervall verwendest du den Faktor . Bei einer Binomialverteilung prüfst du vorher, ob gilt.