Spatprodukt: Volumen berechnen und verstehen
Das Spatprodukt verbindet Kreuz- und Skalarprodukt. Du lernst, damit das Volumen eines Spats zu berechnen und Vektoren auf Komplanarität zu prüfen.
Kurz gesagt
Das Spatprodukt dreier Vektoren ist (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c: erst das Kreuzprodukt, dann das Skalarprodukt mit dem dritten Vektor. Das Ergebnis ist eine Zahl, ihr Betrag ist das Volumen des aufgespannten Spats. Ist sie 0, liegen die drei Vektoren in einer Ebene.
Das Spatprodukt verbindet Kreuzprodukt und Skalarprodukt. Sein Betrag gibt das Volumen des Spats an, den drei Vektoren im Raum aufspannen.
Deine Lernziele
Drei Vektoren \vec a, \vec b und \vec c können einen Spat aufspannen. Das ist ein schiefer, quaderähnlicher Körper mit sechs parallelogrammförmigen Seitenflächen. Das Spatprodukt ist ein orientiertes Volumen: Sein Vorzeichen beschreibt zusätzlich die Orientierung der drei Vektoren. Das gewöhnliche geometrische Volumen ist deshalb V=\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|.
Spatprodukt
Das Spatprodukt dreier Vektoren im dreidimensionalen Raum ist (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c. Zuerst entsteht durch das Kreuzprodukt ein Vektor. Das anschließende Skalarprodukt liefert eine Zahl.
Merke: Das Spatprodukt darf negativ sein. Ein Volumen ist dagegen nie negativ, daher bildest du für das Volumen immer den Betrag.
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Gehe in drei Schritten vor: Berechne das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren. Bilde das Skalarprodukt des Ergebnisses mit dem dritten Vektor. Bilde für das Volumen den Betrag. Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante schreiben: (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=\det\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}. Beide Rechenwege liefern bei gleicher Vektorreihenfolge denselben Wert.
Beispiel: Spatvolumen von d, e und f
- 1\vec d=\begin{pmatrix}2\\-1\\8\end{pmatrix}, \vec e=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}, \vec f=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}
- 2Kreuzprodukt: \vec d\times\vec e=\begin{pmatrix}(-1)\cdot3-8\cdot2\\8\cdot1-2\cdot3\\2\cdot2-(-1)\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-19\\2\\5\end{pmatrix}
- 3Skalarprodukt: (\vec d\times\vec e)\cdot\vec f=(-19)\cdot4+2\cdot0+5\cdot1=-71
- 4Volumen: V=|-71|=71 VE
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Das Kreuzprodukt \vec a\times\vec b steht senkrecht auf der von \vec a und \vec b aufgespannten Grundfläche. Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt dieses Parallelogramms: A_G=|\vec a\times\vec b|. Beim Skalarprodukt mit \vec c wird berücksichtigt, wie stark \vec c in die Richtung des Normalenvektors zeigt. Genau dieser Anteil bestimmt die Höhe des Spats. So verbindet das Spatprodukt Grundfläche mal Höhe in einer Rechnung. Das Vorzeichen hängt von der Orientierung ab: Bilden \vec a, \vec b und \vec c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, ist das Spatprodukt positiv, bei einem Linkssystem negativ. Deshalb darf die Reihenfolge nicht beliebig geändert werden.
Merke: Eine zyklische Verschiebung ändert den Wert nicht: (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a=(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b. Beim Vertauschen von genau zwei Vektoren wechselt das Vorzeichen: (\vec b\times\vec a)\cdot\vec c=-(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c.
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Ist das Spatprodukt null, spannen die drei Vektoren kein räumliches Volumen auf. Sie liegen in einer gemeinsamen Ebene; man nennt sie komplanar. Im dreidimensionalen Raum gilt: (\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\quad\Longleftrightarrow\quad \vec a,\vec b,\vec c\text{ sind linear abhängig}. Linear abhängig bedeutet: Mindestens einer der drei Vektoren lässt sich als Linearkombination der anderen ausdrücken. Der vermeintliche Spat ist dann zu einer Fläche oder Linie zusammengedrückt.
Beispiel: Drei Vektoren in einer Ebene
- 1\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}
- 2Es gilt \vec c=\vec a+\vec b. Alle drei haben die dritte Koordinate 0.
- 3\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
- 4(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=0
- 5Das aufgespannte Volumen ist null.
Merke: Spatprodukt =0: komplanar und linear abhängig. Spatprodukt \ne0: nicht komplanar und linear unabhängig.
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Alles auf einen Blick
Spatprodukt
erst Kreuzprodukt, dann Skalarprodukt
orientiertes Volumen eines Spats
Betrag des Spatprodukts
zyklisch gleich, Tausch mit Vorzeichenwechsel
komplanar und linear abhängig
Determinante der drei Vektoren
Volumen des Spats aus a, b und c
- 1\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}, \vec b=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}, \vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}
- 2\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot3\\0\cdot1-2\cdot0\\2\cdot3-0\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}
- 3(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0\cdot1+0\cdot1+6\cdot4=24
- 4V=|24|=24 VE
- 5Probe: Grundfläche |\vec a\times\vec b|=6, Höhe 4, also 6\cdot4=24
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Ein Volumen ist nie negativ. −3 ist nur das orientierte Volumen. Richtig ist V=|-3|=3 VE.
Lückentext
Beim Spatprodukt bildest du zuerst das von \vec a und \vec b. Das Volumen ist der des Spatprodukts. Ist das Spatprodukt 0, sind die Vektoren .