Terme vereinfachen: Regeln, Beispiele und Übungen
Beim Vereinfachen schreibst du einen Term kürzer, ohne seinen Wert zu ändern. Du lernst, Klammern aufzulösen und gleichartige Terme zusammenzufassen.
Kurz gesagt
Einen Term vereinfachst du, indem du zuerst Klammern auflöst und Produkte ausrechnest und dann gleichartige Terme zusammenfasst. Gleichartig sind Terme mit genau demselben Variablenteil: 4x+3y+2x=6x+3y. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht.
Einen Term zu vereinfachen heißt: Du schreibst ihn kürzer und übersichtlicher, ohne seinen Wert zu verändern. Dafür löst du zuerst Klammern und Produkte auf. Danach fasst du nur gleichartige Terme zusammen.
Deine Lernziele
Beim Vereinfachen entsteht ein äquivalenter Term: Ausgangsterm und Ergebnis haben bei jeder zulässigen Einsetzung denselben Wert. So lässt sich x+x+x als 3x schreiben, für x=2 ergeben beide 6. Bei einem Term wie 5x^2 heißt die Zahl 5 Koeffizient. Der Teil x^2 ist der Variablenteil. Deshalb sind 2x^2 und -5x^2 gleichartig. Dagegen sind x und x^2 sowie xy und xy^2 nicht gleichartig. Die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle: xy und yx haben denselben Variablenteil. Beim Addieren oder Subtrahieren gleichartiger Terme rechnest du nur mit den Koeffizienten. Der Variablenteil bleibt erhalten.
Gleichartige Terme
Terme sind gleichartig, wenn ihr vollständiger Variablenteil übereinstimmt. Dazu gehören dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Nur die Koeffizienten dürfen verschieden sein.
Beispiel: 2xy+x^2-4y+2x^2-5xy vereinfachen
- 1Ordnen: (2xy-5xy)+(x^2+2x^2)-4y
- 2Koeffizienten: (2-5)xy+(1+2)x^2-4y
- 3Ergebnis: -3xy+3x^2-4y
- 4-4y bleibt allein, kein anderer Term hat den Variablenteil y.
Merke: Bei Plus und Minus gilt: Nur gleiche Variablenteile dürfen zusammengefasst werden.
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Vor einer Plusklammer bleibt jedes Vorzeichen in der Klammer erhalten. Vor einer Minusklammer steht gedanklich der Faktor -1: Jedes Vorzeichen in der Klammer wechselt. +(a-b)=a-b -(a-b)=-a+b Steht ein anderer Faktor vor der Klammer, verwendest du das Distributivgesetz. Du multiplizierst jeden Summanden in der Klammer mit diesem Faktor. a(b+c)=ab+ac
Beispiel: -2(3x-4)+5x vereinfachen
- 1Beide Summanden mal -2: -6x+8+5x
- 2Zusammenfassen: (-6+5)x+8
- 3Ergebnis: -x+8
- 4Das Plus vor der 8 kommt von (-2)\cdot(-4)=8.
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Bei einer Multiplikation verarbeitest du Zahlen und Variablen getrennt. Anders als beim Addieren müssen die Variablenteile vorher nicht gleichartig sein. Bei Potenzen mit gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert. Beim Dividieren werden sie subtrahiert: x^m\cdot x^n=x^{m+n} x^m:x^n=x^{m-n} Bei einer Division durch eine Variable darf der Divisor nicht 0 sein. So gilt x^4:x^2=x^2 nur für x\ne0. Ein nicht sichtbarer Exponent ist 1. Deshalb ist x\cdot x=x^1\cdot x^1=x^2.
Beispiel: 2x\cdot7x vereinfachen
- 1Zahlen: 2\cdot7=14
- 2Variablen: x\cdot x=x^2
- 32x\cdot7x=14x^2
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Bei einem längeren Term hilft diese Reihenfolge: Löse Klammern von innen nach außen auf. Fasse Potenzen mit gleicher Basis zusammen. Führe Multiplikationen und Divisionen aus. Fasse gleichartige Summanden zusammen. Kontrolliere das Ergebnis durch Einsetzen. Nicht benötigte Schritte lässt du aus. Operationen gleicher Priorität bearbeitest du von links nach rechts. Eine Probe mit Zahlen kann einen Rechenfehler aufdecken. Eine einzelne passende Einsetzung beweist aber noch nicht, dass zwei Terme für alle Werte gleich sind. Das zeigen erst gültige Rechenregeln.
Beispiel: 2(x+3)-(x-4)+3x vereinfachen
- 1Klammern auflösen: 2(x+3)-(x-4)+3x=2x+6-x+4+3x
- 2Bei der Minusklammer wechseln die Vorzeichen von x und -4.
- 3Zusammenfassen: (2-1+3)x+(6+4)=4x+10
- 4Probe mit x=-2: 2\cdot(-2+3)-(-2-4)+3\cdot(-2)=2+6-6=2
- 54\cdot(-2)+10=-8+10=2, beide Werte stimmen überein.
Merke: Sortiere nicht nur nach dem Aussehen. Prüfe zuerst den vollständigen Variablenteil und nimm beim Umordnen jedes Vorzeichen mit.
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Alles auf einen Blick
Terme vereinfachen
Term kürzer schreiben, Wert erhalten
zuerst auflösen
Zahlen und Variablen getrennt multiplizieren
nur gleichartige Terme
beim Umordnen mitnehmen
Ergebnis durch Einsetzen kontrollieren
3(2x-1)-(x+5)+4 vereinfachen
- 1Klammern auflösen: 3(2x-1)-(x+5)+4=6x-3-x-5+4
- 2Zusammenfassen: 6x-3-x-5+4=5x-4
- 3Probe mit x=1: 3\cdot(2-1)-(1+5)+4=1
- 45\cdot1-4=1, beide Werte stimmen überein.
Fehler finden
Fehler in Zeile 43x und 4x^2 sind nicht gleichartig und dürfen nicht addiert werden. Das Ergebnis bleibt 3x+4x^2.
Lückentext
Zusammenfassen darfst du nur Terme. Bei 2x\cdot7x werden die Koeffizienten . Vor einer Minusklammer alle Vorzeichen in der Klammer.