Transformation von Funktionen einfach erklärt

Eine Funktion ordnet einer Eingabe x eine Ausgabe f(x) zu. Deshalb gibt es zwei Angriffspunkte: innen am Argument: f(x+c) oder f(bx) verändert die Eingabe und damit die x-Richtung. außen am Funktionswert: f(x)+d oder a f(x) verändert die Ausgabe und damit die y-Richtung.

Für eine Verschiebung um c nach rechts und d nach oben gilt: g(x)=f(x-c)+d f(x-c) verschiebt um c nach rechts. f(x+c) verschiebt um c nach links. f(x)+d verschiebt für positives d nach oben. f(x)-d verschiebt für positives d nach unten. Warum bedeutet x-c eine Bewegung nach rechts? Der ursprüngliche Eingabewert 0 wird in der neuen Funktion erst bei x=c erreicht, denn c-c=0. Bei einem längeren Term musst du wirklich jedes x ersetzen. Aus f(x)=x^3-3x wird bei einer Verschiebung um 5 nach rechts: f(x-5)=(x-5)^3-3(x-5).

Für positive Faktoren gelten diese Regeln: Außen ist der Faktor direkt: Ein Faktor a größer als 1 streckt vertikal, ein Faktor zwischen 0 und 1 staucht vertikal. Innen gilt der Kehrwert: Ein Faktor b größer als 1 staucht horizontal, ein Faktor zwischen 0 und 1 streckt horizontal. Ein Minuszeichen erzeugt eine Spiegelung: -f(x) spiegelt an der x-Achse. f(-x) spiegelt an der y-Achse. -f(-x) spiegelt am Ursprung.

Viele Veränderungen lassen sich so bündeln: g(x)=a\,f\bigl(b(x-c)\bigr)+d Für a\neq0 und b\neq0 bedeutet das: c: Verschiebung in x-Richtung. d: Verschiebung in y-Richtung. \frac1{|b|}: Skalierungsfaktor in x-Richtung. |a|: Skalierungsfaktor in y-Richtung. ein negatives b: zusätzlich Spiegelung an der y-Achse. ein negatives a: zusätzlich Spiegelung an der x-Achse. Die Reihenfolge darfst du nicht gedankenlos vertauschen. Erst an der x-Achse spiegeln und dann um 2 nach oben verschieben ergibt -f(x)+2. Erst um 2 nach oben verschieben und dann spiegeln ergibt -(f(x)+2)=-f(x)-2. Das sind im Allgemeinen verschiedene Graphen. Manche Schritte lassen sich trotzdem vertauschen. Eine horizontale Verschiebung und eine vertikale Skalierung greifen an unterschiedlichen Größen an: 2f(x-5) entsteht unabhängig davon, welchen dieser beiden Schritte du zuerst beschreibst. Kennst du einen Punkt P(x_0|y_0) auf dem Graphen von f, dann gilt y_0=f(x_0). Bei g(x)=a\,f\bigl(b(x-c)\bigr)+d wird daraus der Punkt P'\left(c+\frac{x_0}{b}\,\middle|\,a y_0+d\right). Die x-Koordinate wird horizontal skaliert und verschoben; die y-Koordinate wird vertikal skaliert und verschoben. So helfen markante Punkte beim Erkennen: Eine reine horizontale Verschiebung addiert denselben Wert zu den x-Koordinaten von Nullstellen und Extrempunkten. Eine reine vertikale Skalierung lässt Nullstellen unverändert, multipliziert aber die y-Koordinaten. Eine Spiegelung an der x-Achse lässt Nullstellen unverändert und wechselt die Vorzeichen der y-Koordinaten; Hoch- und Tiefpunkte tauschen ihre Art. Nach einer vertikalen Verschiebung lassen sich neue Nullstellen im Allgemeinen nicht allein aus den alten Nullstellen ablesen.