Scheitelpunktform: Parabeln ablesen und umformen

Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform lautet f(x)=a(x-d)^2+e. Dabei muss a\ne 0 gelten, sonst wäre die Funktion nicht quadratisch. Der Ausdruck (x-d)^2 wird bei x=d null. Dann bleibt nur f(d)=e. Deshalb liegt der Scheitel bei S(d\mid e), und die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade x=d.

In f(x)=a(x-d)^2+e haben die drei Parameter verschiedene Aufgaben. a bestimmt Öffnungsrichtung und Öffnungsgrad: Für a>0 öffnet sich die Parabel nach oben, für a<0 nach unten. Ein Betrag |a|>1 macht sie steiler und schmaler, ein Betrag zwischen 0 und 1 flacher und breiter. d verschiebt den Scheitel waagerecht, die Symmetrieachse lautet x=d. e verschiebt den Scheitel senkrecht, es gilt y_S=e. Kennst du nur den Scheitelpunkt, ist die Parabel noch nicht festgelegt: Zu S(2\mid-1) gehören alle Funktionen f(x)=a(x-2)^2-1 mit a\ne0. Erst eine weitere Angabe wie „Normalparabel“ oder ein weiterer Punkt bestimmt a.

Die allgemeine Form f(x)=ax^2+bx+c zeigt den Scheitel nicht. Um ihn sichtbar zu machen, formst du den Term in ein binomisches Quadrat um. Dieses Verfahren heißt quadratische Ergänzung: 1. Klammere a aus den Termen mit x^2 und x aus. 2. Halbiere den Koeffizienten vor x in der Klammer und quadriere das Ergebnis. 3. Addiere und subtrahiere diesen Wert in derselben Klammer. 4. Fasse die ersten drei Klammerterme als binomisches Quadrat zusammen. 5. Vereinfache den Rest.

Für die Gegenrichtung brauchst du keine quadratische Ergänzung. Du löst das binomische Quadrat auf, multiplizierst mit a und fasst gleichartige Terme zusammen. Jede Form hebt etwas anderes hervor: In der Scheitelpunktform erkennst du Scheitel, Symmetrieachse und Öffnung. In der allgemeinen Form ax^2+bx+c siehst du den y-Achsenabschnitt (0\mid c) direkt. In der faktorisierten Form a(x-x_1)(x-x_2) stehen vorhandene Nullstellen x_1 und x_2 direkt da.