Variation in der Kombinatorik einfach erklärt
Bei einer Variation zählt die Reihenfolge. Du lernst, Variationen mit und ohne Wiederholung zu erkennen und mit der Produktregel zu berechnen.
Kurz gesagt
Eine Variation ist eine geordnete Auswahl von k aus n Objekten: Die Reihenfolge zählt. Ohne Wiederholung gibt es \frac{n!}{(n-k)!} Möglichkeiten, zum Beispiel 6\cdot5\cdot4\cdot3=360 für 4 aus 6. Mit Wiederholung sind es n^k, zum Beispiel 6^4=1296.
Eine Variation ist eine geordnete Auswahl von k aus n Objekten. „Geordnet“ bedeutet: Die Reihenfolge zählt. Danach entscheidest du, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf.
Deine Lernziele
Bei einer Variation werden Plätze oder Positionen besetzt. Zwei Ergebnisse sind verschieden, sobald sich ihre Reihenfolge unterscheidet. Wählst du aus den Buchstaben A, B und C zwei aus, sind AB und BA zwei verschiedene Ergebnisse. Deshalb handelt es sich um eine Variation. Zählt die Reihenfolge dagegen nicht, liegt eine Kombination vor. Werden alle n verschiedenen Objekte ohne Wiederholung angeordnet, also k=n, ist die Variation eine Permutation.
Variation
Eine Variation ist eine Auswahl von k Objekten aus insgesamt n Objekten, bei der die Reihenfolge berücksichtigt wird. Dabei steht n für die Zahl der verfügbaren Objekte und k für die Zahl der Plätze.
Merke: Frage zuerst: Würde das Vertauschen zweier ausgewählter Objekte ein neues Ergebnis erzeugen? Wenn ja, zählt die Reihenfolge.
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Ohne Wiederholung bedeutet: Jedes Objekt darf höchstens einmal ausgewählt werden. Daher gilt k\le n. Für den ersten Platz gibt es n Möglichkeiten. Danach bleibt ein Objekt weniger übrig. Für die k Plätze erhältst du deshalb: n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1) Mit der Fakultät n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1 lässt sich das kürzer schreiben: V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}
Beispiel: 4 von 6 Kugeln ohne Zurücklegen
- 11. Ziehung: 6 Möglichkeiten
- 22. Ziehung: 5 Möglichkeiten
- 33. Ziehung: 4 Möglichkeiten
- 44. Ziehung: 3 Möglichkeiten
- 5Produktregel: 6\cdot5\cdot4\cdot3=360 geordnete Ziehungsfolgen
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Mit Wiederholung bedeutet: Dasselbe Objekt darf an mehreren Positionen vorkommen. Im Urnenmodell entspricht das einer Ziehung mit Zurücklegen. Für jeden der k Plätze stehen unabhängig wieder alle n Objekte zur Verfügung. Daher gilt: V^W_{n,k}=n^k „Mit Wiederholung“ heißt bei einer Variation, dass eine Mehrfachauswahl möglich ist. Nicht jedes Ergebnis muss tatsächlich eine Wiederholung enthalten: Auch (1,2,3,4) gehört zu den 1296 Folgen im Beispiel.
Beispiel: 4 Ziehungen aus 6 Kugeln mit Zurücklegen
- 1Jede Ziehung: 6 Möglichkeiten
- 26\cdot6\cdot6\cdot6=6^4=1296 geordnete Ziehungsfolgen
- 3Erlaubt ist auch eine Folge wie (2,2,5,2).
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Gehe bei einer Aufgabe in dieser Reihenfolge vor: Prüfe, ob die Reihenfolge zählt. Wenn nein, ist es keine Variation. Bestimme n, die Zahl der verfügbaren Objekte. Bestimme k, die Zahl der Plätze oder Ziehungen. Prüfe, ob ein Objekt mehrfach vorkommen darf. Multipliziere die Möglichkeiten der einzelnen Plätze.
| Fall | Möglichkeiten je Platz | Formel |
|---|---|---|
| ohne Wiederholung | n,n-1,\ldots,n-k+1 | \frac{n!}{(n-k)!} |
| mit Wiederholung | an jedem Platz n | n^k |
Beispiel: Kürzel aus drei Buchstaben von A bis Z
- 1Die Stellen sind geordnet, Buchstaben dürfen sich wiederholen.
- 2Variation mit Wiederholung: n=26, k=3
- 326^3=17\,576 Kürzel, von AAA bis ZZZ
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Alles auf einen Blick
Variation (Kombinatorik)
Die Reihenfolge zählt.
Die Möglichkeiten nehmen von Platz zu Platz ab, \frac{n!}{(n-k)!}.
an jedem Platz alle n Möglichkeiten, also n^k.
Möglichkeiten der einzelnen Plätze multiplizieren.
k=n ohne Wiederholung ist eine Permutation.
Klassensprecher und Stellvertretung aus 24 Kindern
- 1Die zwei Ämter sind verschieden: Die Reihenfolge zählt, also eine Variation.
- 2Niemand übernimmt beide Ämter: ohne Wiederholung, n=24, k=2.
- 3\frac{24!}{22!}=24\cdot23=552
- 4Es gibt 552 Möglichkeiten.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Ohne Wiederholung gibt es für jeden weiteren Platz einen Läufer weniger: 7\cdot6\cdot5=210 Siegerlisten.
Lückentext
Bei einer Variation zählt die der ausgewählten Objekte. Ohne Wiederholung die Zahl der Möglichkeiten von Platz zu Platz. Mit Wiederholung gibt es insgesamt Möglichkeiten.