Zählprinzip einfach erklärt: Möglichkeiten zählen
Mit dem Zählprinzip zählst du Kombinationen, ohne alle aufzuschreiben. Du lernst Produktregel, Baumdiagramm, Fakultät und eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe.
Kurz gesagt
Das Zählprinzip (Produktregel) sagt: Bei einer Auswahl in mehreren Stufen multiplizierst du die Anzahlen der Möglichkeiten jeder Stufe. 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen ergeben 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 Menüs. Fällt eine gewählte Möglichkeit weg, werden die Faktoren kleiner.
Bei einer Auswahl in mehreren Stufen multiplizierst du die Anzahl der Möglichkeiten jeder Stufe. So findest du die Gesamtzahl, ohne jede Kombination einzeln ausprobieren zu müssen.
Deine Lernziele
Stell dir ein Menü aus Vorspeise, Hauptspeise und Nachspeise vor. Du wählst nacheinander je eine Möglichkeit aus jeder Kategorie. Ein typischer Fehler ist das Addieren. Die Rechnung 2+3+2=7 zählt nur die angebotenen Speisen, aber keine vollständigen Menüs.
Zählprinzip
Besteht eine vollständige Möglichkeit aus mehreren aufeinanderfolgenden Wahlen, multiplizierst du die Anzahlen der Wahlmöglichkeiten: n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k Dabei ist zum Beispiel n_1 die Anzahl der Möglichkeiten auf der ersten Stufe.
Beispiel: Menü aus 2 Vorspeisen, 3 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen
- 1Zu jeder Vorspeise passen 3 Hauptspeisen.
- 2Zu jeder dieser Kombinationen passen 2 Nachspeisen.
- 3Menüs: 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12
Merke: Frag dich: Aus wie vielen aufeinanderfolgenden Wahlen besteht eine vollständige Möglichkeit? Die Anzahlen dieser Wahlen werden multipliziert.
Teste dich
Bei kleinen Zahlen kannst du alle Kombinationen geordnet aufschreiben. Das zeigt, warum die Produktregel funktioniert. Für einen Kinoabend wählst du einen von 3 Filmen F1, F2, F3 und einen von 3 Snacks S1, S2, S3. Zu jedem Film gehören genau 3 Snacks, also gibt es 3 \cdot 3 = 9 Kombinationen. Die Liste ist vollständig, weil jeder Snack bei jedem Film genau einmal vorkommt. Ein Baumdiagramm ordnet dieselben Möglichkeiten nach Stufen: Von jedem Film-Zweig gehen drei Snack-Zweige ab. Die neun Enden des Baums sind die neun vollständigen Kombinationen. Bei vielen Möglichkeiten ist die Rechnung kürzer. Für 5 Hosen, 2 Gürtel und 6 Paar Socken gilt: 5 \cdot 2 \cdot 6 = 60 Die Reihenfolge der Faktoren ändert das Ergebnis nicht. Es muss aber klar bleiben, wofür jeder Faktor steht.
| Film | mögliche Kombinationen |
|---|---|
| F1 | F1–S1, F1–S2, F1–S3 |
| F2 | F2–S1, F2–S2, F2–S3 |
| F3 | F3–S1, F3–S2, F3–S3 |
Teste dich
Manchmal kann eine bereits verwendete Möglichkeit nicht erneut gewählt werden. Dann wird die Zahl der Möglichkeiten von Stufe zu Stufe kleiner. Die Fakultät passt, wenn jede Möglichkeit genau einmal drankommt und die Reihenfolge zählt. Bei sechs Läuferinnen und Läufern gibt es 6!=720 mögliche Zieleinläufe.
Beispiel: Vier Hausaufgaben nacheinander erledigen
- 11. Aufgabe: 4 Fächer zur Wahl
- 22. Aufgabe: noch 3 Fächer
- 33. Aufgabe: noch 2 Fächer
- 44. Aufgabe: das letzte Fach
- 5Reihenfolgen: 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
Fakultät
Das Produkt aller natürlichen Zahlen von n bis 1 heißt Fakultät. Man schreibt n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 Zum Beispiel gilt 4!=24.
Teste dich
Das Zählprinzip bestimmt auch die Anzahl der Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Für eine Laplace-Rechnung müssen die gezählten Einzelergebnisse gleich wahrscheinlich sein. Deshalb werden die Kugeln im Beispiel einzeln unterschieden. Mit Zurücklegen bedeutet: Nach jedem Zug kommt die Kugel zurück. Deshalb bleiben die 7 Wahlmöglichkeiten auf jeder Stufe erhalten. Ohne Zurücklegen würden sie abnehmen. „Mindestens eine“ zählst du am einfachsten über das Gegenereignis „keine“. Das Ergebnis ist plausibel: 4 von 7 Kugeln sind weiß, da ist mindestens eine weiße in drei Zügen sehr wahrscheinlich.
Beispiel: Urne mit 1 schwarzen, 2 roten und 4 weißen Kugeln: dreimal ziehen mit Zurücklegen
- 1Alle Ergebnisse: |\Omega|=7^3=343
- 2Gegenereignis „keine weiße Kugel“: nur 3 Kugeln pro Zug, also 3^3=27
- 3Mindestens eine weiße Kugel: 343-27=316
- 4P(\text{mindestens eine weiße Kugel})=\frac{316}{343}\approx 92\,\%
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zählprinzip
Anzahlen der Stufen multiplizieren
Liste, Tabelle oder Baumdiagramm
kleinere Faktoren und Fakultät
Ergebnisanzahlen und Gegenereignis nutzen
Vollständigkeit und Bedingungen prüfen
Ein Zahlenschloss hat 3 Ringe mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele Codes gibt es, mit und ohne doppelte Ziffern?
- 1Jeder Ring: 10 Ziffern
- 2Mit Wiederholung: 10 · 10 · 10 = 1.000 Codes
- 3Ohne Wiederholung: Ring 1: 10, Ring 2: 9, Ring 3: 8 Ziffern
- 410 · 9 · 8 = 720 Codes
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Jede Sorte lässt sich mit jeder Waffel und jeder Soße kombinieren. Die Anzahlen werden multipliziert: 4 · 2 · 3 = 24 Eisbecher.
Lückentext
Bei mehreren aufeinanderfolgenden Wahlen werden die Anzahlen . Ohne Zurücklegen werden die Faktoren von Stufe zu Stufe . Das Produkt 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 heißt .