Volumen eines Quaders berechnen und verstehen
Das Quadervolumen ist Länge mal Breite mal Höhe. Du lernst, warum das so ist, rechnest Einheiten und Liter um und bestimmst fehlende Kanten.
Kurz gesagt
Das Volumen eines Quaders berechnest du mit V = a \cdot b \cdot c, also Länge mal Breite mal Höhe. Alle drei Längen müssen dieselbe Einheit haben, das Ergebnis steht in einer Kubikeinheit. Ein Quader mit 8\,\mathrm{cm}, 5\,\mathrm{cm} und 3\,\mathrm{cm} hat V = 120\,\mathrm{cm^3}.
Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Quader einnimmt oder wie viel in ihn hineinpasst. Du berechnest es, indem du Länge, Breite und Höhe in derselben Einheit miteinander multiplizierst: V = a \cdot b \cdot c
Deine Lernziele
Stell dir einen Karton vor, den du lückenlos mit gleich großen Würfeln füllst. Die Anzahl dieser Einheitswürfel beschreibt den Rauminhalt des Kartons. Dieser Rauminhalt heißt Volumen und wird mit dem Formelzeichen V bezeichnet. Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 1\,\mathrm{cm} hat das Volumen 1\,\mathrm{cm^3}. Ein Quader mit 120\,\mathrm{cm^3} bietet daher so viel Raum wie 120 solcher Einheitswürfel. Fläche und Volumen sind nicht dasselbe: Eine Fläche misst du in Quadrateinheiten wie \mathrm{cm^2}. Ein Volumen misst du in Kubikeinheiten wie \mathrm{cm^3}.
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Es wird in Kubikeinheiten wie \mathrm{cm^3}, \mathrm{dm^3} oder \mathrm{m^3} angegeben.
Teste dich
Ein rechtwinkliger Quader hat sechs rechteckige Flächen. Für sein Volumen brauchst du drei senkrecht zueinander verlaufende Kantenlängen: Länge a, Breite b und Höhe c. Zuerst betrachtest du die rechteckige Grundfläche. Ihr Flächeninhalt ist: G = a \cdot b Drückst du alle Kanten in derselben Längeneinheit aus, geben ihre Maßzahlen an, wie viele Einheitswürfel in jede Richtung passen. Eine Schicht enthält das Produkt aus Länge und Breite. Die Anzahl der Schichten entspricht der Höhe. Deshalb gilt: V = G \cdot c = a \cdot b \cdot c So gehst du vor: Notiere Länge, Breite und Höhe mit ihren Einheiten. Wandle die Längen bei Bedarf in dieselbe Einheit um. Setze sie in V = a \cdot b \cdot c ein und multipliziere. Schreibe das Ergebnis mit der passenden Kubikeinheit auf und prüfe, ob es plausibel ist.
Merke: Grundfläche mal Höhe: Für einen Quader gilt V = G \cdot c = a \cdot b \cdot c.
Beispiel: Quader mit 8\,\mathrm{cm}, 5\,\mathrm{cm} und 3\,\mathrm{cm}
- 1Eine Schicht: 8 \cdot 5 = 40 Einheitswürfel
- 2Drei Schichten: 40 \cdot 3 = 120 Einheitswürfel
- 3V = 8\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} = 120\,\mathrm{cm^3}
Teste dich
Du darfst Längen mit unterschiedlichen Einheiten nicht direkt multiplizieren. Wandle zuerst jede Kante in dieselbe Längeneinheit um. Für Flüssigkeiten sind diese Beziehungen besonders nützlich: 1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}, 1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml} und 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}.
Beispiel: Quader mit 2\,\mathrm{dm}, 15\,\mathrm{cm} und 100\,\mathrm{mm}
- 1In cm: 2\,\mathrm{dm} = 20\,\mathrm{cm} und 100\,\mathrm{mm} = 10\,\mathrm{cm}
- 2V = 20\,\mathrm{cm} \cdot 15\,\mathrm{cm} \cdot 10\,\mathrm{cm} = 3000\,\mathrm{cm^3}
- 33000\,\mathrm{cm^3} = 3\,\mathrm{dm^3} = 3\,\mathrm{l}
Beispiel: Wasserbehälter: 0{,}8\,\mathrm{m} lang, 0{,}45\,\mathrm{m} breit, 1{,}5\,\mathrm{m} hoch
- 1V = 0{,}8\,\mathrm{m} \cdot 0{,}45\,\mathrm{m} \cdot 1{,}5\,\mathrm{m} = 0{,}54\,\mathrm{m^3}
- 2Mit 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l} gilt 0{,}54\,\mathrm{m^3} = 540\,\mathrm{l}
- 3Der Behälter fasst rechnerisch 540 Liter.
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Kennst du das Volumen und zwei Kanten, stellst du die Volumenformel um. Teile das Volumen durch das Produkt der beiden bekannten Kanten. Aus V = a \cdot b \cdot c folgt für die Höhe: c = \frac{V}{a \cdot b} Kennst du nur das Volumen und die Höhe, kannst du die Grundfläche bestimmen: G = \frac{V}{c} Aus einer bekannten Grundfläche lassen sich Länge und Breite jedoch nicht immer einzeln bestimmen. Für G = 10\,\mathrm{m^2} wären zum Beispiel 2\,\mathrm{m} \cdot 5\,\mathrm{m} oder 1\,\mathrm{m} \cdot 10\,\mathrm{m} möglich.
Beispiel: Höhe aus V = 216\,\mathrm{cm^3}, a = 4\,\mathrm{cm} und b = 6\,\mathrm{cm}
- 1Grundfläche: G = 4\,\mathrm{cm} \cdot 6\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm^2}
- 2c = \frac{216\,\mathrm{cm^3}}{24\,\mathrm{cm^2}} = 9\,\mathrm{cm}
- 3Probe: 4\,\mathrm{cm} \cdot 6\,\mathrm{cm} \cdot 9\,\mathrm{cm} = 216\,\mathrm{cm^3}
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Alles auf einen Blick
Volumen Quader
Rauminhalt, gezählt in Einheitswürfeln
V = a \cdot b \cdot c = G \cdot c
Längen zuerst vereinheitlichen, Ergebnis in Kubikeinheiten
1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l} und 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}
fehlende Kante c = \frac{V}{a \cdot b}, Probe durch Einsetzen
Ein Pool ist 5\,\mathrm{m} lang, 3\,\mathrm{m} breit und 1{,}2\,\mathrm{m} tief. Wie viele Liter Wasser passen hinein?
- 1Alle Längen stehen in m: a = 5\,\mathrm{m}, b = 3\,\mathrm{m}, c = 1{,}2\,\mathrm{m}
- 2V = 5\,\mathrm{m} \cdot 3\,\mathrm{m} \cdot 1{,}2\,\mathrm{m} = 18\,\mathrm{m^3}
- 3Mit 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l} gilt 18\,\mathrm{m^3} = 18.000\,\mathrm{l}
- 4In den Pool passen 18.000 Liter Wasser.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Geteilt wurde nur durch a. Du musst durch die ganze Grundfläche teilen: c = 360\,\mathrm{cm^3} : 60\,\mathrm{cm^2} = 6\,\mathrm{cm}.
Lückentext
Für das Volumen eines Quaders werden Kantenlängen miteinander multipliziert. Vorher müssen sie in Längeneinheit umgewandelt werden. Das Ergebnis erhält eine .