Wurzelgesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Wurzelgesetze sagen dir, wann du Wurzeln zusammenfassen darfst. Du lernst Plus, Minus, Mal und Geteilt mit Wurzeln und die Potenzschreibweise.
Kurz gesagt
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten darfst du multiplizieren und dividieren, indem du die Radikanden verbindest: \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} und \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}. Addieren kannst du nur gleichartige Wurzeln, über ihre Koeffizienten: 3\sqrt{2}+4\sqrt{2}=7\sqrt{2}.
Wurzeln darfst du je nach Rechenart unterschiedlich verbinden: Bei Addition und Subtraktion müssen die Wurzeln gleichartig sein. Bei Multiplikation und Division kannst du Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten zusammenfassen.
Deine Lernziele
Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Weil 10^3=1000 gilt, ist \sqrt[3]{1000}=10. Der Wurzelwert von \sqrt{121} ist 11, denn 11\cdot11=121.
Bestandteile einer Wurzel
Im Ausdruck \sqrt[n]{x} ist \sqrt{\phantom{x}} das Wurzelzeichen, n der Wurzelexponent und x der Radikand. Bei einer Quadratwurzel ist n=2; die 2 wird gewöhnlich nicht geschrieben. So bedeutet \sqrt{121} dasselbe wie \sqrt[2]{121}.
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Bei Addition und Subtraktion kannst du Wurzeln nur unmittelbar zusammenfassen, wenn Wurzelexponent und Radikand übereinstimmen. Dann verrechnest du ausschließlich die Koeffizienten, also die Zahlenfaktoren vor der Wurzel. Bei \sqrt{7} ist der nicht geschriebene Koeffizient 1. Für gleiche Wurzeln gilt: u\sqrt{a}+v\sqrt{a}=(u+v)\sqrt{a} u\sqrt{a}-v\sqrt{a}=(u-v)\sqrt{a}
Beispiel: Vereinfache 5\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{7}.
- 1Beide Terme enthalten dieselbe dritte Wurzel. Der zweite Koeffizient ist 1.
- 25\,\sqrt[3]{7}+1\,\sqrt[3]{7}=(5+1)\,\sqrt[3]{7}=6\,\sqrt[3]{7}
- 3Die Wurzel bleibt unverändert, nur die Koeffizienten werden addiert.
Beispiel: Vereinfache 7\sqrt[4]{3}-5\sqrt[4]{3}.
- 17\,\sqrt[4]{3}-5\,\sqrt[4]{3}=(7-5)\,\sqrt[4]{3}=2\,\sqrt[4]{3}
Merke: Gleiche Wurzelteile verhalten sich beim Addieren und Subtrahieren wie gleiche Einheiten: 5\sqrt{a}+2\sqrt{a}=7\sqrt{a}, ähnlich wie 5 cm + 2 cm = 7 cm.
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Für positive reelle Zahlen a und b gelten die Produkt- und Quotientenregel: \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} Bei der Division muss b>0 gelten, damit nicht durch null geteilt wird. Die Regeln funktionieren auch in der umgekehrten Richtung. So kannst du etwa \sqrt{36\cdot16} in \sqrt{36}\cdot\sqrt{16} zerlegen und erhältst 6\cdot4=24. Die Produktregel darfst du aber nicht auf Summen oder Differenzen übertragen. Bei Multiplikation und Division verbindest du passende Wurzeln, bei Addition und Subtraktion verrechnest du nur die Koeffizienten gleichartiger Wurzeln.
Beispiel: Berechne \sqrt{2}\cdot\sqrt{8}.
- 1Zuerst verbindest du die Radikanden unter einer Wurzel:
- 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4
- 3Die Probe bestätigt das Ergebnis: 4^2=16.
Beispiel: Berechne \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}.
- 1\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5
- 2Der Nenner ist erlaubt, weil \sqrt{2} nicht null ist.
Beispiel: Gegenbeispiel: \sqrt{9}+\sqrt{25}
- 1Richtig: \sqrt{9}+\sqrt{25}=3+5=8
- 2Falsch zusammengefasst: \sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5{,}83
- 38\ne\sqrt{34}: Für Summen gibt es kein entsprechendes Wurzelgesetz.
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Eine Wurzel kannst du als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben. Für positive x gilt: \sqrt[n]{x^m}=x^{m/n} Der Exponent des Radikanden wird zum Zähler, der Wurzelexponent zum Nenner. Fehlt der sichtbare Exponent am Radikanden, ist er 1: \sqrt[n]{x}=x^{1/n}. In dieser Schreibweise kannst du Wurzeln auch mit den Potenzgesetzen umformen. Eine potenzierte Wurzel lässt sich so umformen: \left(\sqrt[n]{x}\right)^m=\sqrt[n]{x^m} Bei verschachtelten Wurzeln werden die Wurzelexponenten multipliziert: \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}=\sqrt[mn]{x}
Beispiel: Schreibe \sqrt[3]{8^2} als Potenz und berechne den Wert.
- 1\sqrt[3]{8^2}=8^{2/3}
- 2Da \sqrt[3]{8}=2 ist, folgt:
- 38^{2/3}=2^2=4
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Alles auf einen Blick
Wurzelgesetze
Wurzelzeichen, Wurzelexponent n und Radikand
nur gleichartige Wurzeln, nur die Koeffizienten verrechnen
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} und \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} mit b>0
\sqrt{a+b} ist nicht \sqrt{a}+\sqrt{b}
\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}, verschachtelte Wurzelexponenten multiplizieren
\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}+2\sqrt{5}-\sqrt{5} vereinfachen
- 1Produkt zuerst: \sqrt{12}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{36}=6
- 2Gleichartige Wurzeln: 2\sqrt{5}-\sqrt{5}=(2-1)\sqrt{5}=\sqrt{5}
- 3Ergebnis: 6+\sqrt{5}\approx 8{,}24
- 4Weiter zusammenfassen geht nicht: 6 ist keine Wurzel mit dem Radikanden 5.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die Radikanden der Summe wurden unter eine Wurzel gezogen. Richtig: 6+\sqrt{16}+\sqrt{9}=6+4+3=13.
Lückentext
Bei 4\sqrt{3}+2\sqrt{3} addierst du nur die . Bei \sqrt{2}\cdot\sqrt{8} darfst du die Radikanden unter einer Wurzel . Bei \sqrt{9}+\sqrt{16} ziehst du die Wurzeln .