Potenzen verstehen und sicher berechnen
Potenzen kürzen wiederholtes Multiplizieren ab. Du lernst Basis und Exponent, Vorzeichen, negative Exponenten und die wichtigsten Potenzgesetze.
Kurz gesagt
Eine Potenz a^n ist die Kurzschreibweise für ein Produkt gleicher Faktoren: Die Basis a kommt n-mal als Faktor vor, zum Beispiel 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8. Für a \ne 0 gilt a^0 = 1, und ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: 2^{-3} = \frac{1}{8}.
Faltest du ein Blatt Papier immer wieder in der Mitte, liegen 2, 4, 8 und dann 16 Lagen übereinander. Solche Produkte schreibst du kurz als Potenz: 2^4 = 16. Bei 2^3 = 8 ist 2 die Basis, 3 der Exponent und 8 der Potenzwert. Hier lernst du, Potenzen zu lesen, sicher zu berechnen und mit Potenzgesetzen zu vereinfachen.
Deine Lernziele
In a^n heißt a Basis und n Exponent oder Hochzahl. Das Ergebnis heißt Potenzwert. Für einen positiven ganzen Exponenten zeigt n, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Verwechsle Potenzieren nicht mit Multiplizieren: 3^4 bedeutet nicht 3 \cdot 4, sondern 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3.
Potenz
Eine Potenz ist ein Ausdruck aus Basis und Exponent. Beim Potenzieren berechnest du ihren Wert. Für positive ganze Exponenten gilt: a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ Faktoren}}
Beispiel: 3^4 berechnen
- 1Die Basis ist 3, der Exponent ist 4.
- 2Die 3 kommt also viermal als Faktor vor.
- 33^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
Teste dich
Bei einer negativen Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen. Ein gerader Exponent ergibt einen positiven Potenzwert, ein ungerader einen negativen. Der Grund: Je zwei negative Faktoren ergeben ein positives Produkt. Klammern bestimmen, was zur Basis gehört. Bei (-2)^4 ist die Basis -2, das Ergebnis ist 16. Bei -2^4 wird nur die 2 potenziert, das Minus steht vor der Potenz: -2^4 = -(2^4) = -16. Außerdem gilt a^1 = a und a^0 = 1 für a \ne 0. Der Ausdruck 0^0 ist ein Sonderfall, deshalb verwendest du die Regel a^0 = 1 nur für Basen ungleich null.
Beispiel: (-2)^4 und (-2)^3 vergleichen
- 1(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16
- 2(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8
- 3Vier negative Faktoren bilden zwei positive Paare.
- 4Bei drei Faktoren bleibt nach einem Paar ein negativer Faktor übrig.
Merke: Frage zuerst: Was gehört zur Basis? Eine Klammer kann das Minuszeichen oder einen ganzen Bruch in die Basis einschließen.
Teste dich
Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass der Potenzwert negativ ist. Er zeigt, dass du den Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten bildest. Die Basis darf dabei nicht null sein, weil du nicht durch null teilen kannst. Bei Zehnerpotenzen rutscht der Wert so unter 1: 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001.
Negativer Exponent
Für a \ne 0 und eine positive ganze Zahl n gilt: a^{-n} = \frac{1}{a^n}
Beispiel: 2^{-3} berechnen
- 1Der Exponent ist negativ, also bildest du den Kehrwert.
- 2Im Nenner steht der positive Exponent: 2^{-3} = \frac{1}{2^3}
- 32^3 = 8, also ist 2^{-3} = \frac{1}{8}.
Teste dich
Potenzgesetze helfen dir, Potenzen geschickt zusammenzufassen. Prüfe zuerst, ob die Basis oder der Exponent gleich ist. Bei gleicher Basis rechnest du mit den Exponenten. Beim Multiplizieren zählst du alle gleichen Faktoren zusammen, beim Dividieren kürzen sich gleiche Faktoren weg. Bei gleichem Exponenten fasst du die Basen in einer Klammer zusammen. Wird eine Potenz noch einmal potenziert, multiplizierst du die Exponenten. Kommt ein negativer Exponent vor oder teilst du, darf die Basis nicht null sein.
| Muster | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| gleiche Basis, mal | a^m \cdot a^n = a^{m + n} | 2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128 |
| gleiche Basis, geteilt | \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} | \frac{7^6}{7^2} = 7^4 |
| gleicher Exponent | a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n | 3^4 \cdot 2^4 = 6^4 |
| Potenz einer Potenz | (a^m)^n = a^{m \cdot n} | (3^2)^3 = 3^6 = 729 |
Beispiel: \frac{2^3 \cdot 2^2}{2^4} vereinfachen
- 1Alle Potenzen haben die Basis 2.
- 2Exponenten: 3 + 2 - 4 = 1
- 3\frac{2^3 \cdot 2^2}{2^4} = 2^1 = 2
- 4Kontrolle: \frac{8 \cdot 4}{16} = 2
Merke: Gleiche Basis beim Multiplizieren: Exponenten addieren. Beim Dividieren: Exponenten subtrahieren. Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren. Gleicher Exponent: Basen in einer Klammer zusammenfassen.
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Alles auf einen Blick
Potenzen
Basis, Exponent und Potenzwert
(-2)^4 = 16, aber -2^4 = -16
Kehrwert bilden, a^{-n} = \frac{1}{a^n}
Exponenten addieren oder subtrahieren
Basen in einer Klammer zusammenfassen
Exponenten multiplizieren
(-2)^3 \cdot (-2)^2 berechnen
- 1Basis bestimmen: Die Klammer macht -2 zur Basis.
- 2Gleiche Basis, also Exponenten addieren: 3 + 2 = 5
- 3(-2)^3 \cdot (-2)^2 = (-2)^5
- 4Der Exponent 5 ist ungerade, das Ergebnis wird also negativ.
- 5(-2)^5 = -32
- 6Kontrolle: (-8) \cdot 4 = -32
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Bei -3^2 gehört das Minus nicht zur Basis, es steht vor der Potenz: -3^2 = -(3^2) = -9. Die Summe ist -9 + 9 = 0.
Lückentext
In 9^3 ist 9 die und 3 der Exponent. Bei (-4)^6 ist der Potenzwert , weil 6 gerade ist. Bei 2^4 \cdot 2^3 werden die Exponenten .