Zufall und Wahrscheinlichkeit in der Grundschule
Hier lernst du, ob etwas sicher, möglich oder unmöglich ist. Du vergleichst Chancen, zählst Ergebnisse und prüfst, ob ein Spiel fair ist.
Kurz gesagt
Bei einem Zufallsexperiment wie dem Würfeln kennst du alle möglichen Ergebnisse, aber nicht das nächste. Ein Ereignis ist sicher, wenn es immer eintritt (eine Zahl von 1 bis 6), möglich, wenn es eintreten kann (eine 4), und unmöglich, wenn es nie eintritt (eine 7).
Bei einem Zufallsexperiment kennst du die möglichen Ergebnisse, aber nicht das Ergebnis des nächsten Versuchs. Du kannst trotzdem beurteilen, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist und ob eine Chance größer oder kleiner als eine andere ist.
Deine Lernziele
Du wirfst eine Münze. Wird sie Kopf oder Zahl zeigen? Beides ist möglich, doch vor dem Wurf steht das Ergebnis nicht fest. Typische Zufallsexperimente sind: eine Münze werfen, einen Würfel werfen, eine Kugel blind aus einem gemischten Säckchen ziehen oder ein Glücksrad drehen. Das Ergebnis ist das, was bei einem einzelnen Versuch tatsächlich eintritt. Beim Münzwurf lautet es zum Beispiel „Kopf“. Ein Vorgang ist nicht allein deshalb zufällig, weil du das Ergebnis noch nicht kennst. Wenn eine verdeckte Karte bereits fest auf dem Tisch liegt, ist ihre Zahl zwar für dich unbekannt, aber sie wird durch das Aufdecken nicht neu durch Zufall bestimmt.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch unter festgelegten Bedingungen. Die möglichen Ergebnisse sind bekannt, aber du kannst das Ergebnis des nächsten Versuchs nicht sicher vorhersagen. Der Versuch lässt sich unter denselben Bedingungen wiederholen.
Beispiel: Die Ergebnisse beim Münzwurf
- 1Es gibt genau zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl.
- 2M=\{\text{Kopf};\text{Zahl}\}
- 3Vor dem Wurf kennst du beide Möglichkeiten.
- 4Welche davon eintritt, weißt du erst danach.
Teste dich
Die Wörter sicher, möglich und unmöglich beschreiben, ob ein Ereignis unter den festgelegten Bedingungen eintreten kann. Sicher: Das Ereignis muss eintreten. Möglich: Das Ereignis kann eintreten, muss aber nicht. Unmöglich: Das Ereignis kann nicht eintreten. Im Alltag bedeutet „sicher“ manchmal nur „fast gewiss“. In der Mathematik ist der Begriff strenger: Ein sicheres Ereignis muss unter den festgelegten Bedingungen eintreten. „Praktisch unmöglich“ ist ebenfalls nicht dasselbe wie unmöglich. Ein sehr seltenes Ereignis kann weiterhin möglich sein.
Ereignis
Ein Ereignis ist eine Aussage über ein oder mehrere mögliche Ergebnisse. Beim Würfeln ist „Es fällt eine gerade Zahl“ ein Ereignis. Dazu passen die Ergebnisse 2, 4 und 6.
Beispiel: Ein normaler Würfel trägt die Zahlen 1 bis 6.
- 1„Es fällt eine Zahl von 1 bis 6“ ist sicher.
- 2„Es fällt eine 4“ ist möglich.
- 3„Es fällt eine 7“ ist unmöglich, denn auf dem Würfel gibt es keine 7.
- 4Die Begründung kommt immer vom Zufallsgerät und seinen möglichen Ergebnissen.
Merke: Prüfe zuerst die Bedingungen und alle möglichen Ergebnisse. Entscheide erst danach, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist.
Teste dich
Zwei mögliche Ereignisse müssen nicht dieselbe Chance haben. Dafür vergleichst du, wie viele passende Möglichkeiten es gibt. „Wahrscheinlich“ und „unwahrscheinlich“ haben im Alltag keine überall gleich festen Zahlengrenzen. Für eine klare mathematische Aussage ist ein Vergleich oft besser: „Blau ist wahrscheinlicher als Rot.“ Auch das Aussehen kann täuschen. Bei einem Glücksrad zählt die Größe der Farbbereiche, nicht nur die Zahl der einzelnen Felder. Zwei verschieden gezeichnete Räder können deshalb gleiche Chancen besitzen, wenn ihre Farbanteile gleich groß sind.
Beispiel: Vier blaue und eine rote Kugel im Säckchen
- 1Alle Kugeln sind gleich groß und werden gut gemischt.
- 2Blau und Rot sind beide möglich.
- 3Blau ist wahrscheinlicher, denn es gibt 4 blaue und nur 1 rote Kugel.
- 4Rot ist unwahrscheinlicher, aber nicht unmöglich.
Merke: Viele passende, gleichartige Möglichkeiten sprechen für eine größere Chance. Eine größere Chance ist aber keine Garantie für den nächsten Versuch.
Teste dich
Eine Wahrscheinlichkeit sagt nicht voraus, was bei einem einzelnen Versuch geschehen muss. Wiederholte Versuche zeigen jedoch, wie häufig die Ergebnisse tatsächlich aufgetreten sind. Die Häufigkeit gibt an, wie oft ein Ergebnis oder Ereignis in einer Versuchsreihe vorkommt. Mit wachsender Zahl von Wiederholungen nähert sich das beobachtete Verhältnis meist der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Eine bestimmte Verteilung ist aber für keine Versuchsreihe garantiert. Ordnen kannst du die Möglichkeiten mit einem Ereignisbaum: Bei zwei Münzwürfen hängst du an jeden Ast erneut Kopf und Zahl an und findest so die vier Folgen Kopf–Kopf, Kopf–Zahl, Zahl–Kopf und Zahl–Zahl. Ein Zufallsspiel ist fair, wenn die Gewinnregeln allen Spielenden gleich große Gewinnchancen geben. Dafür betrachtest du das Zufallsgerät und die Regeln gemeinsam.
Beispiel: 40 Würfe mit einer fairen Münze
- 1Beobachtet: 23-mal Kopf und 17-mal Zahl
- 2Beide Seiten haben dieselbe theoretische Wahrscheinlichkeit:
- 3P(\text{Kopf})=P(\text{Zahl})=\frac{1}{2}
- 4Genau 20-mal Kopf und 20-mal Zahl muss es trotzdem nicht geben.
- 523 zu 17 ist eine mögliche Abweichung.
Beispiel: Ist ein Kugelspiel fair?
- 1Im Säckchen liegen 3 rote und 3 blaue gleich große Kugeln. Kind A gewinnt bei Rot, Kind B bei Blau.
- 2Beide haben 3 der 6 Kugeln: Das Spiel ist fair.
- 3Liegen 4 rote und 2 blaue Kugeln im Säckchen, hat A die größere Chance.
- 4Dann wäre das Spiel unfair.
Merke: Eine abwechselnde Reihenfolge macht ein Spiel noch nicht fair. Entscheidend sind die Gewinnchancen, die aus Gerät und Regel entstehen.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Zufall und Wahrscheinlichkeit (Grundschule)
Ergebnisse bekannt, nächstes Ergebnis offen
sicher, möglich oder unmöglich
wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher vergleichen
Ergebnisse zählen und Häufigkeiten auswerten
keine Garantie für ein einzelnes Ergebnis
Gewinnchancen aus Gerät und Regel vergleichen
Ereignisse beim Ziehen aus einem Säckchen einordnen
- 1Im Säckchen liegen 3 rote und 2 gelbe Kugeln.
- 2„Die Kugel ist rot oder gelb“ ist sicher, denn andere Farben gibt es nicht.
- 3„Die Kugel ist gelb“ ist möglich.
- 4„Die Kugel ist grün“ ist unmöglich.
- 5Rot ist wahrscheinlicher als Gelb, weil es mehr rote Kugeln gibt.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Würfel merkt sich keine früheren Würfe. Eine 6 ist beim nächsten Wurf möglich, aber nicht sicher: Sie hat dieselbe Chance wie jede andere Zahl.
Lückentext
Beim normalen Würfel ist eine 7 . Eine Zahl von 1 bis 6 zu würfeln ist . Liegen mehr blaue als rote Kugeln im Säckchen, ist Blau .