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Wie hoch ist der Kegel? – Geometrie Rätsel
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 96 Zeilen
- hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht die folgendermaßen lautet ein kegelförmiges Gefäß ist mit einer Flüssigkeit gefüllt
- in der rechten Abbildung steht der Kegel normal in der linken Abbildung wurde er auf den Kopf gestellt wie hoch ist der Kegel wir sollen also herausfinden wie
- hoch dieser Kegel ist ich nenne die Höhe einfach mal h das ist dasselbe Gefäß hier in beiden Abbildungen aber einmal steht der Kegel hier normal und wurde er
- ebenenso gedreht das heißt die Flüssigkeit ist auch dieselbe die hier drin ist aber je nachdem wie der Kegel gedreht ist sieht sie natürlich
- unterschiedlich aus wir bekommen hier diesen Abstand gegeben mit einer Länge von 3 und hier diesen Abstand mit einer Länge von 6 und wir sollen herausfinden
- wie hoch dieser Kegel ist vielleicht gehen wir einfach mal über das Volumen dieser Flüssigkeit vor also ich nenne das
- Volumen hier mal V1 und das Volumen V2 es ist dieselbe Flüssigkeit das heißt das Volumen verändert sich natürlich nicht die Form oder das Aussehen von
- dieser Flüssigkeit ja das verändert sich aber das Volumen bleibt gleich also wir können über den Ansatz V1 = V2 gehen jetzt bräuchte man nur mal eine Formel
- für V1 und eine Formel für V2 dann können wir mit der Gleichung hier weiterarbeiten ist ein bisschen Arbeit lasst uns mal mit V1 starten auf die
- Suche nach dem Volumen dieser roten Flüssigkeit gehen nach V1 okay was haben wir hier für eine Form überhaupt von unserer roten Flüssigkeit
- das ist ja selbst auch noch mal ein Kegel ein Kegel hat hier diese Grundfläche und diese Höhe das Volumen eines Kegels allgemein die Formel dafür
- ist ein Drittel mal die Grundfläche was ein Kreis ist also pi mal der Radius zum Quadrat und dann wird das ganze noch mit der Höhe des Kegels multipliziert das
- ist die Formel allgemein welche Angaben haben wir hier von unserem roten Kegel wir können den Radius hier mal einzeichnen den nenne ich einfach mal x
- wir können die Höhe hier einzeichnen wie lange ist die wir wissen von der ganzen Höhe des Kegels die heißt h aber das Stückchen hier oben das wollen wir gar
- nicht haben also würden wir von H einfach mal die dre abziehen dann ist es wirklich nur das Stück was wir hier benutzen wollen und das setzen wir jetzt
- mal in die Formel ein für unser Volumen V1 also ein Drittel mal Pi mal unseren Radius zum Quadrat
- unseren Radius haben wir x genannt also haben wir da x Quadrat und dann wird das mit unserer Höhe multipliziert die in unserem Fall
- h-3 lang ist schöne Klammer drumrum das wäre die Formel für unser V1 da ist jetzt x und H drin ist natürlich blöd wenn da so viele Variablen drin sind was
- wir vielleicht mal schauen könnten ist ob es ein Zusammenhang zwischen x und H gibt also x war ja unser Radius hier wir hätten ja hier noch ein anderen Radius
- den wir auch einzeichnen können den nen ich einfach mal R und es praktisch ist dass dieser Radius ja auch bei dem zweiten Kegel vorkommen wird das ist
- auch unser R es ist ja derselbe Kegel und hier oben von dem Kreis der Radius der bleibt ja unverändert das heißt wenn wir mit dem R arbeiten könnten wäre das
- vielleicht ganz praktisch weil wir stellen ja gleich noch das Volumen V2 auf und da wird dann er auch eine Rolle spielen können also je weniger
- unbekannte wir irgendwie haben desto besser können wir mit dem R arbeiten und so ein Zusammenhang mit unserem x herstellen ja können wir denn hier das
- ist ein Strahlensatz Figur die beiden Seiten verlaufen ja parallel zueinander und die werden hier von diesen Strahlen geschnitten und da
- können wir ein Strahlensatz Aufstellen der ja sagt die parallele Seite verhält sich zu der langen Seite also R verhält sich zu unserer kompletten Höhe genauso
- wie das kurze Stückchen parallele Stückchen also unser X zu dem kurzen Stück hier zur Spitze laufend und das ist nur diese kurz Z Höhe dieses H- 3
- Strahl ist aufgestellt hier ist jetzt R x und H drin das können wir mal nach X umstellen damit wir das hier drin ersetzen können wir wollten x mit X ja
- nicht arbeiten sondern lieber mit R und mit H wenn wir das nach X umstellen wollen müssen wir hier nur mit H - 3 einmal
- durchmultiplizieren damit sich dieser Bruch hier auflöst auf der anderen Seite haben wir dann R geeil dur h mal dieses H- 3 und rechts steht dann aber wie
- gewünscht nur noch unser x und dieses x können wir jetzt hier in unserer Formel ersetzen hier an der Stelle also unser V1 sieht dann so aus ein dritt mal Pi
- statt dem X setzen wir das ein was wir gefunden haben das X soll aber quadriert werden also muss jeder Teil hier drin quadriert werden das R muss quadriert
- werden das h muss quadriert werden die Klammer muss quadriert werden also da steht dann H- 3 zum Quadrat und hinten dran kommt jetzt aber auch noch mal mal
- H- 3 also können wir die Klammer nicht nur hoch 2 hinschreiben sondern sie wird noch mal mit sich selbst multipliziert da können wir dann direkt ein hoch 3
- draus machen das ist unsere Formel für unser V1 die Formel habe ich jetzt immer noch mal hier hineschrieben die können wir dann an der Stelle hier einsetzen wo
- wir am Anfang gestartet sind mit dieser Gleichung wir haben ja V1 gesucht V1 gefunden und jetzt gehen wir auf die Suche nach V2 wie sieht's damit aus V2
- ist diesmal kein Kegel sondern ein Kegelstumpf V2 können wir berechnen indem wir das
- Volumen von dem kompletten großen Kegel erstmal nehmen also nen ich mal VG und davon das Volumen von dem kleinen Kegel hier oben abziehen also V klein VK nen
- ich das mal wie kann ich das Volumen von dem großen Kegel berechnen die Formel ist wieder dieselbe dieses ein Drittel mal die Kreisfläche also PR qurat mal
- die Höhe welchen Radius hat mein Großer Kegel hier das wäre der Radius den wir einzeichnen wollten den hatten wir hier schon R genannt also haben wir den mit R
- gegeben und meine H ist tatsächlich auch hier mein h also meine Höhe von dem großen das heißt die Formel von dem großen ist genau das hier ein dritt mal
- Pi mal mein Radius also mein R zum Quadrat mal die Höhe h und davon ziehe ich jetzt den kleinen Kegel hier oben ab welchen Radius hat der denn wissen wir
- nicht das ist nicht x nennen wir einfach mal y ein neuer Radius und die Höhe ist hier mit se gegeben also wieder in die Formel rein ein dr mal Pi mal den Radius
- zum Quadrat also das Y zum Quadrat hier und dann mit der Höhe multiplizieren also mit der 6 das ist also unsere Formel für unser V2 da steckt jetzt R
- drin was okay ist haben wir gesagt h drin was okay ist haben wir gesagt y haben wir nicht gesagt dass das okay ist also da wä es jetzt noch schön wenn wir
- das Y wieder ersetzen könnten also dass wir da einen Zusammenhang finden zwischen dem y und unserem ja und unserem
- h aber das kriegen wir hin denn auch hier haben wir diese strahlensatzfigur hier wenn man das hiermer so verlängern da die beiden
- parallel zueinander verlaufen haben wir vom Verhältnis verhält sich das zu dem langen Stück genauso wie das kurze parallele Stück zu diesem Stückchen hier
- das heißt in einer Gleichung heißt es R geteilt durch die Höhe von diesem Kegel das ist H ist genauso groß wie das Y wenn wir das durch die Höhe Teilen durch
- die SE und diese Gleichung stellen wir jetzt nach y um weil wir das hier einsetzen wollen das heißt hier multiplizieren wir einmal mit 6 damit
- das Y alleine steht auf der anderen Seite haben wir R geil h was mit der 6 multipliziert wird hier löst sich der Bruch auf und nur unser y bleibt stehen
- das schnappen wir uns und setzen es hier oben ein damit erhalten wir für unser V2 1 dr pi r² mal
- H- wieder 1 dr PI statt dem y kommt das da rein aber auch hier muss es wieder quadriert werden also wird jeder Teil quadriert R wird quadriert h wird
- quadriert die 6 wird quadriert und dann noch mit der SE hier multipliziert wow das Ding sieht an sich nicht ganz so geil aus aber wir haben
- hier eine Differenz das heißt wenn sich Dinge wiederholen könnten wir was ausklammern um das ein bisschen schöner zu gestalten hier wir haben die ein
- Drittel hier vorne die ein Drittel auch hier hinten das P kommt hier und hier vor sogar das R Quadrat kommt hier und hier vor das war's soweit dann können
- wir die Teile aber mal ausklammern also alles was grün ist ein dritt PI r² kommt raus was bleibt in der Klammer übrig hier vorne in dem Teil wenn all das
- grüne rausgezogen wird bleibt nur das H stehen dann kommt das Minus und hier haben wir 6 zum Quadrat mal 6 das könnte man mal ausrechnen das sind
- 216 und dann steht da 216 geeilt durch das H qurat das ist unsere Formel für unser V2 wir gehen noch mal zurück wo wir das einsetzen wollten in unsere
- Gleichung das ist unser V2 was wir gefunden haben also schnappen wir es uns und setzen es an dieser Stelle ein wo es hingehört okay eine Gleichung in der R
- vorkommt und H h r h h okay hier kommt wirklich nur noch h und R vor das ist noch eine Variable zu viel aber schon mal besser als gar nichts lass uns
- trotzdem ein bisschen aufräumen hier und gucken was passiert ein Drittel kommt auf beiden Seiten vor also wenn wir durch ein Drittel Teilen fliegt es raus
- PI genauso sogar das R Quadrat kommt den beiden vor können wir rauskürzen dann steht auf der linken Seite nur noch hier diese Klammer hoch 3 also dieses H- 3
- hoch 3 was durch h² geteilt wird und auf der anderen Seite steht nur noch das was in der Klammer ST die Klammer müssen wir auch
- nicht hinschreiben da steht ja sonst nichts womit das multipliziert wird hey seht ihr das dass in der Gleichung nur noch h vorkommt das R Quadrat ist
- draußen das spielt gar nicht mehr mit also können wir diese Gleichung hier ohne Probleme nach H umstellen sie sieht zwar noch schlimm aus aber das kriegen
- wir hin vielleicht lösen wir erstm die Brüche auf und zwar haben wir h Quadrat hier unten hier genauso wenn wir also einmal mit H Quadrat durchmultiplizieren
- lösen sich die Brüche auf okay der Bruch löst sich dadurch auf dann bleibt nur das stehen was im Zähler stand und auf der anderen Seite haben wir hier aber
- ein Minus das heißt jeder Teil muss mit H Quadrat multipliziert werden also das H muss damit multipliziert werden h mal h qur sind dann h hoch 3 und dieser Teil
- wird auch damit multipliziert dadurch löst sich aber dieser Bruch auf und nur das was im Zähler standand bleibt dann stehen sieht schon besser aus lasst uns
- diese Gleichung mal lösen vielleicht starten wir erstmal damit dieses hoch 3 hier aufzulösen das können wir auch in der Nebenrechnung hier unten
- mal machen dass wir uns H- 3 hoch 3 so aufteilen dass wir zuerst hoch 2 rechnen und danach das ganze noch mal mit sich selbst multiplizieren wir starten mit
- der Klammer hier vorne hoch 2 können wir so auflösen mit der zweiten binomischen Formel die lautet ja wenn wir die noch mal hier die Seite schreiben A- B in
- Klammern zum Quadrat ist A a² - 2 A mal B + b² wenden wir sie an H wird quadriert das sind h² - 2 x h* 3 sind 6h + 3 zum Quadrat sind 9 dieses ganze
- Ergebnis muss jetzt genommen werden und mit der zweiten Klammer multipliziert werden deswegen schön eine Klammer drum rumpacken und jetzt wird hier
- multipliziert was das Zeug hält jedes Element mit jedem h² Mal h sind h H 3 h² mal -3 sind -3h² nächstes Element -6h* h sind -6h²
- -6h* -3 sind + 18h und das letzte Element 9 x H sind 9h und 9* -3 sind 27 ein bisschen was können wir
- zusammenfassen h hoch 3 bleibt einzeln stehen aber -3 von den H Quadraten - 6 sind -9 h² dann die HS hier zusammen sind 27
- HS insgesamt und die -27 noch hinten dran und das ist das Ergebnis von unserer Klammer das schnappe ich mir jetzt mal hier zieh das hier oben hin
- das ist die linke Seite gewesen und auf der rechten Seite haben wir immer noch unser H3 stehen was immer erschreckend ist in
- so einer Gleichung aber H3 kommt auch auf der anderen Seite vor wenn wir es Abziehen von beiden Seiten fliegt das raus und es bleibt eine quadratische
- Gleichung übrig um die zu lösen bringen wir mal alles auf eine Seite also die -216 kommt rüber mit einer + 216 dann haben wir die -9 H Quadrat da die
- 27 h - 27 + 216 sind 19 und auf der anderen Seite haben wir eine ull um das jetzt mit der pq Formel zu lösen ihr könnt es auch mit der ABC
- Formel jetzt schon reinhauen wenn ihr wollt aber für die pq Formel muss die -9 hier vorne noch verschwinden also teilen wir alles durch -9 für die ABC Formel
- ist es übrigens auch praktisch die Zahlen klein zu machen also könnte mer noch durchaus auch durch -9 Teilen bevor man in die Formel reingeht dann steht
- unser h Quadrat alleine da 27 dur -9 sind -3h 189 dur -9 sind -21 und auf der anderen Seite haben wir
- 0 und mit diesem Ding laufen wir jetzt in die pq Formel rein pq Formel wie sieht sie noch mal aus H12 unsere variabel heißt h deswegen nicht x
- sondern h ist P hal+ min Wurzel aus P Hal zum Quadrat - Q was ist mein P was ist mein Q P ist immer die Zahl vor meinem h hier in dem Fall also die
- -3 und q ist die Zahl die alleine steht kein P in sich trägt das ist die -21 wir setzen alles ein und legen los P ist -3
- Hal plus minus Wurzel aus P ist -3 wird halbiert und quadriert und dann -21 sind + 21 hier vorne Minus und Minus wird zu plus also wir haben drei halbe
- hier hier hinten das Ding könnt ihr einfach auch in Taschenrechner reinpacken wenn ihr wollt und euch die Kommazahl insgesamt ausgeben lassen das
- ist 4,82 gerundet auf 2 komm stellen die Wurzel wird nicht besonders schön ihr könnt es natürlich erstmal testen ohne
- Taschenrechner wenn ihr wollt und dann erhalten wir zwei Lösung mit 3/ + 4,82 gibt mir eine Lösung von 6,32 und eine zweite Lösung wenn ich das
- ganze mit dem Minus hier mache 3/be-us das da ergibt -3,32 diese Lösung kann ich schon mal einklammern die interessiert mich nicht
- die ist negativ eine negative Höhe damit kann ich hier nichts anfangen das hier ist meine Höhe übrigens von meinem Kegel die wir gesucht haben wir haben sie
- gefunden war ein bisschen Arbeit ich geb es zu ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt eure Lösungswege gerne in die Kommentare
- ansonsten wünsche ich euch noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut