Die gedämpfte Schwingung | (NEU)

Das Wichtigste aus dem Video

Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.

1. 0:18 Bei einer realen Federpendelschwingung führen Reibungsverluste, etwa an Feder und Luft, zu einem fortlaufenden Energieverlust: Die Amplitude klingt ab, bis die Schwingung endet.
2. 1:04 Im Schwingfall ist die Dämpfung schwach: Das System schwingt weiter, verliert aber nach und nach Energie. Dabei ist die Abklingkonstante kleiner als die Eigenkreisfrequenz; je größer sie ist, desto schneller klingt die Amplitude ab.
3. 2:11 Die gedämpfte Schwingung wird durch einen Sinusanteil und eine exponentiell abklingende Amplitude beschrieben: \(s(t)=\hat{s}\,e^{-\delta t}\sin(\omega t)\).
4. 3:58 Beim aperiodischen Grenzfall entspricht die Abklingkonstante der Eigenkreisfrequenz, beim Kriechfall ist sie größer. In beiden Fällen tritt keine weitere Schwingung auf; eine sehr starke Dämpfung wie in Honig führt jedoch zu einer langsameren Rückkehr.
5. 5:21 Der aperiodische Grenzfall ermöglicht die schnellste Rückkehr in die Ruhelage ohne Überschwingen: Die Masse erreicht die Ruhelage genau dann, wenn ihre Bewegungsenergie aufgebraucht ist. Dieses Verhalten wird etwa bei Stoßdämpfern und gedämpften Türen genutzt.
6. 6:43 Beim ungedämpften Federpendel wirkt die Rückstellkraft entgegen der Auslenkung: \(F_\mathrm{R}=-D\,s(t)\). Mit \(F=m\,a(t)\) folgt das Kräftegleichgewicht \(m\,a(t)=-D\,s(t)\).
7. 8:34 Bei der gedämpften Schwingung kommt eine der Bewegung entgegengerichtete, geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft \(-k\,v(t)\) hinzu.
8. 9:17 Mit \(v(t)=\dot{s}(t)\) und \(a(t)=\ddot{s}(t)\) ergibt sich für das gedämpfte Federpendel \(m\ddot{s}+k\dot{s}+Ds=0\), beziehungsweise nach Division durch \(m\): \(\ddot{s}+\frac{k}{m}\dot{s}+\frac{D}{m}s=0\).
9. 11:26 Für den Schwingfall ergibt sich die gedämpfte Kreisfrequenz \(\omega=\sqrt{\frac{D}{m}-\delta^2}\). Gegenüber der ungedämpften Kreisfrequenz \(\sqrt{D/m}\) ist sie kleiner.
10. 12:29 Solange die Abklingkonstante kleiner als die Eigenkreisfrequenz ist, bleibt eine Schwingung mit geringerer, aber zeitlich konstanter Frequenz erhalten. Die Schwingung wird also gegenüber dem ungedämpften Fall langsamer, verlangsamt sich während des Abklingens jedoch nicht weiter.