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Abstand windschiefer Geraden bestimmen
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 96 Zeilen
- Hallo ihr Lieben, heute möchte ich als Schritt für Schritt zeigen, wie man den Abstand zweier Windschiefergeraden bestimmen kann. Berechne den Abstand der
- windschiefen Geraden G und H. Wir bekommen die Gleichung der Geraden Gegeben und auch die Gleichung der Geraden H. Wir bekommen auch schon
- gesagt, dass sie windschief zueinander stehen. Also wir müssen jetzt nicht noch zeigen, dass sie windschief zueinander sind. Diese Information bekommen wir
- schon. Und wir sollen jetzt den Abstand dieser beiden Geraden bestimmen. Wie liegen noch mal zwei Windschiefe Geraden zueinander? Das kann man sich ja so
- vorstellen, dass eine Gerade in die eine Richtung zeigt, die andere gerade in die andere Richtung. Also, ich nenne die hier oben einfach mal G. Die hier unten
- nenne ich mal H. Und dann muss man sich das aber so vorstellen, dass die in unterschiedlichen Ebenen liegen, die ich hier jetzt so grau markiert habe. Also
- diese beiden Geraden schneiden sich nicht in dem Punkt, sondern sie liegen so übereinander mit so einem gewissen Abstand zueinander. Und diesen
- Abstand, den wollen wir ja berechnen, den nenne ich einfach mal d. Das ist hier dieser senkrechte Abstand zwischen diesen beiden Geraden. Man kann sich das
- so vorstellen, wie zwei Flugzeuge. Das eine Flugzeug fliegt in die Richtung, das andere Flugzeug fliegt in eine andere Richtung, aber sie treffen sich
- halt Gott sei Dank nicht, weil sie in unterschiedlichen Ebenen fliegen und dann können die so untereinander durchfliegen. Okay, wie finden wir jetzt
- den Abstand von diesen beiden Windschiefen geraden? Wir können immer in diesen drei Schritten vorgehen. Erster Schritt: Hilfsebene aufstellen.
- Okay, eine Hilfsebene aufstellen. Wir haben ja zwei Geraden gegeben, aber wir wollen jetzt eine Ebene aufstellen und die nenne ich H. Groß.
- Ähm groß H. Meine Hilfsebene kann entweder die graue Ebene hier oben sein oder falls es euch besser passen sollte, könnt ihr großer als die Ebene hier
- unten nehmen. Wir nehmen jetzt einfach mal die Ebene hier oben. In dieser Ebene, die wir gleich aufstellen müssen, soll meine gerade G drin liegen und
- diese Ebene soll so wie es hier schon gezeichnet ist, parallel zu der anderen Geraden verlaufen. Unsere gerade G besteht ja immer aus einem Aufpunkt und
- einem Richtungsvektor. Also, wenn ich das mal hier einzeichne, kenne ich ja einen Punkt auf meiner Geraden und ich kenne den Richtungsvektor der Geraden.
- Und genauso von meiner geraden H kenne ich ja auch einen Punkt da drauf und der Richtungsvektor ist ja auch gegeben, also den kenne ich, in welche Richtung
- meine Gerade verläuft. Und für meine Ebene H, die ich jetzt aufstellen möchte, auch in Parameterform, brauche ich ja erstmal einen Punkt, der in der
- Ebene liegt. Von welchem Punkt weiß ich, dass er in meiner Ebenen hier drin liegt? Na, da kann ich ja den Punkt von meiner Geraden nehmen, weil die Gerade
- soll ja komplett hier drin liegen. Also nehme ich doch den Punkt von meiner Geraden. Das ist 1 - 3 2 und das wird auch mein Aufpunkt von meiner Ebene
- werden. Okay, dann habe ich den Punkt. Dann brauche ich jetzt noch zwei Richtungsvektoren, die äh ich habe hier S t, dann nehme ich u als Parameter hier
- und jetzt brauche ich einen Richtungsvektor in meiner Ebene hier und die gerade G soll ja drin liegen, dann nehme ich doch einfach den
- Richtungsvektor von der geraden G auch. Also 1 2 - 3. Also soweit habe ich die komplette gerade G hier reingepackt. Aber in der Ebene braucht er noch einen
- zweiten Richtungsvektor. Also nehme ich als nächsten Buchstaben das V. Und dann brauche ich noch einen zweiten Richtungsvektor. Und was haben wir jetzt
- gesagt, wie diese Ebene H hier liegen soll? Die soll parallel zu meiner anderen Geraden verlaufen. Also kann ich als zweiten Richtungsvektor für meine äh
- Ebene einfach den Richtungsvektor von meiner anderen Geraden nehmen. Also schnappe ich mir von H hier den Richtungsvektor die 2 - 3 0. Und schon
- habe ich hier eine schöne Ebenengleichung von einer Ebene, die die eine Gerade enthält komplett, aber parallel zu der anderen Geraden
- verläuft. Also, der Aufpunkt ist der Aufpunkt von meiner Geraden G. Der eine Richtungsvektor ist der eine Richtungsvektor von meiner Geraden G und
- der zweite Richtungsvektor ist einfach der Richtungsvektor von der anderen Geraden. So könnt ihr diese Hilfsebene immer aufstellen und damit haben wir den
- ersten Teil erledigt. Nummer 2 in Koordinatenform umwandeln. Diese Ebene, die wir gerade gefunden haben, haben wir in Parameterform
- aufgestellt. Diese Ebene sollen wir jetzt in Koordinatenform umwandeln. Also schnappen wir uns unsere Ebene. So sah sie aus, in Parameterform und jetzt
- wandeln wir das Ding in Koordinatenform um. Was brauchen wir dafür? den normalen Vektor unserer Ebene. Wie kann ich den aus meiner Parameterform hier finden,
- indem ich die beiden Richtungsvektoren nehme und das Kreuzprodukt von den beiden Bilder? Also, ich schnappe mir den ersten Vektor
- 1 2 - 3 und kreuze den mit dem zweiten Richtungsvektor 2 - 300 und damit finde ich ja immer den normalen Vektor von meiner Ebene. Um das Kreuzprodukt jetzt
- zu berechnen, ähm schreiben wir am besten diese beiden Vektoren noch mal untereinander. Also, wir wiederholen den hier einmal und dann
- wiederholen wir den anderen hier auch. streichen hier vor immer die erste und die letzte Zeile und dann wird jetzt hier über Kreuz multipliziert. Also ich
- starte hier oben und gehe hier einmal diagonal runter und dann von hier nach hier habe ich hier so ein Kreuz und diese Zahlen werden immer miteinander
- multipliziert. Also 2* 0 wird hier gerechnet und dann ziehe ich immer das Produkt von den anderen beiden Zahlen ab. Also -3* -3 kommt dann noch hierhin
- und das rechnen wir gleich aus. Das wird dann die erste Koordinate von meinem normalen Vektor. Zweite Koordinate bedeutet, wir rutschen hier eins runter
- und multiplizieren hier über Kreuz -3* 2 zuerst und davon ziehen wir das Produkt von den beiden Zahlen ab. 1* 0 und für die dritte Koordinate genau
- dasselbe mit dem letzten Pärchen hier. Es wird über Kreuz multipliziert 1 x -3 zuerst und davon ziehen wir 2* 2 ab und das müssen wir jetzt nur noch ausrechnen
- und dann haben wir unseren normalen Vektor gefunden. 2* 0= 0 -3* -3 sind erstmal 9, aber mit dem Minus hier vorne dran sind es -9.
- Hier haben wir -3* 2 sind -6. -0 sind dann insgesamt -6. Und hier unten haben wir einmal -3, das sind -3- die 4 hier hinten sind insgesamt -7.
- Das hier ist jetzt also unser normalen Vektor. Den habe ich noch mal hier hingeschrieben und wir wollen ja die Koordinatenform von unserer Ebene
- finden. Und die ist ja immer so aufgebaut, dass man einen Teil mit x1 hat, dann einen Teil mit x2 und einen Teil mit x3 und dann ist das gleich
- einer Zahl, die normalerweise als d bezeichnet wird. D ist jetzt nicht der Abstand, den wir hier suchen. Das ist normalerweise einfach in der Formel so
- drin. Also lasst euch da nicht verwirren, dass jetzt auch in D steht. Wir suchen diese Zahl gleich noch. Und vor mein X1, vor mein X2 und vor mein X3
- kommen jetzt die Zahlen aus meinem normalen Vektor. Die erste Koordinate, die -9, kommt vor mein x1. Die zweite Koordinate kommt vor mein X2 und die
- dritte Koordinate kommt vor mein X3. Und das hier ist jetzt fast die Koordinatenform, die wir gesucht haben. Das D müssen wir noch finden, aber das D
- findet man immer so, indem man für X1, X2 und X3 einfach Koordinaten einsetzt von einem Punkt, von dem man weiß, dass er in der Ebene liegt. Von welchem Punkt
- weiß ich denn, dass er in meiner Ebene liegt? meinem Aufpunkt hier, der liegt ja in der Ebene drin. Also kann ich die
- Koordinaten von diesem Punkt jetzt hier in meine Ebene einsetzen und mein d ausrechnen. Das heißt, ich habe -9 mal die x1 Koordinate von dem Punkt ist 1,
- dann -6 mal die x2 Koordinate von dem Punkt ist -3 und -7 mal die x3 Koordinate, das ist die 2 und das soll mein d sein und das kann ich jetzt
- einfach nur noch ausrechnen. -9* 1 sind -9 -3 -6* -3 sind +18 -7* 2 sind -14, das wird mein d werden. Damit habe ich -9 + 18 sind 9,
- -14 sind -5 sind mein d. Also von d weiß ich, dass es -5 ist. Das heißt, ich kann das hier schön ersetzen, die -5 rein und
- zack habe ich die Koordinatenform von meiner Ebene gefunden. Und damit Schritt 2 erledigt. Und es fehlt nur noch der dritte Schritt, die hässische
- Normalform. Wie hilft uns jetzt die hässische Normalform dabei letztendlich den Abstand zwischen unseren beiden Geraden G und H zu finden? Wir wollen
- ja, wenn wir von der einen Geraden hier einmal so runterlaufen auf die andere Gerade drauf hier alles schön senkrecht. Da wollen wir wissen, wie groß ist
- dieser Abstand hier, den ich einfach mal mit D bezeichne. Und mit der hässischen Normalform kann ich einen Abstand berechnen, allerdings keinen Abstand
- zwischen zwei Geraden, aber einen Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt. Und die Ebene haben wir schon
- aufgestellt. Dafür war Schritt 1 und Schritt 2 zuständig. Und jetzt brauchen wir nur noch den Punkt hier unten auf unsere anderen Geraden. Welcher Punkt
- liegt denn auf unsere Geraden H? Na ja, gehen wir mal zu unserer Geradengleichung H hierhin. Welcher Punkt liegt drauf? Natürlich der
- Aufpunkt, von dem wissen wir ja, dass er auf jeden Fall Teil von unserer Geraden ist. Das heißt 14 4 3. Dieser Punkt liegt drauf, den können wir nehmen. Und
- jetzt wollen wir mit der hässischen Normalform den Abstand von unserer Hilfsebene zu diesem Punkt P bestimmen und dann haben wir den Abstand von
- diesen beiden Geraden gefunden automatisch. So, für die häische Normalform brauchen wir hier diese Gleichung, die wir hier aufgestellt
- haben. Allerdings ist die noch nicht perfekt vorbereitet. Die Zahl, die jetzt noch auf der rechten Seite steht, die will man immer auf der linken Seite
- haben. Also die -5 bringen wir mal mit einer +5 auf die andere Seite. Dann steht natürlich alles noch da, was links stand. Da dran ändern wir nicht ab. Aber
- hinzu kommt die + 5 und rechts steht dann aber nur noch eine 0. Jetzt ist alles perfekt vorbereitet, um unseren Abstand d zu bestimmen. Die Formel
- lautet folgendermaßen. Wir nehmen einen großen Bruch, Betragsstriche drumherum, weil unser Ergebnis für unseren Abstand soll ja
- positiv werden. In den Zähler kommt jetzt hier einmal die komplette linke Seite von dieser Gleichung. Deswegen haben wir die umgestellt, dass rechts
- nur noch gleich null steht und der ganze linke Teil wandert jetzt in den Zähler hier rein. Allerdings müssen wir noch eine Sache abändern, nämlich an Stelle
- von x1, X2 und x3. Da packen wir jetzt die Koordinaten von unserem Punkt rein, die 14, die 4 und die 3. Das heißt, da steht dann -9 mal statt x1 packen wir
- die 14 rein. -6 mal statt der x2 kommt die 4 rein. -7 mal statt der dritten Koordinate kommt 3 rein und die + 5 hier nicht
- vergessen, dass wir die auch noch mit reinschreiben. Im Nenner kommt jetzt der Betrag von unserem normalen Vektor rein. Wo haben wir noch mal den normalen
- Vektor? Hier in dem ganzen Wir war. Wir müssen zu unserer Ebene gehen und die Zahlen vor x1, vor x2 und vor x3 waren ja die Koordinaten von unserem normalen
- Vektor. Und wir müssen jetzt nur den Betrag von diesem Vektor berechnen. Das funktioniert ja so, dass man die Wurzel nimmt und die einzelnen Koordinaten
- quadriert und aufiert. Also die -9 wird quadriert und dann plus die nächste Koordinate wird quadriert, das ist die -6 einmal quadrieren und plus und dann
- noch die letzte Koordinate die -7 quadrieren. Und das hier müssen wir jetzt nur noch ausrechnen, um letztendlich unseren Abstand d zu
- finden. Und da kommt es jetzt drauf an, wie exakt euer Ergebnis sein muss, laut Aufgabenstellung oder wie exakt euer Taschenrechner euch euer Ergebnis
- liefert. Oft gibt der Taschenrechner einfach nur eine Kommazahl aus. Also, wenn ihr das hier alles eintippt, dann gibt mein Taschenrechner als Ergebnis
- gerundet -12,9 raus. Wir gehen mal beide Fälle durch. Also, das hier wäre jetzt das gerundete Ergebnis. Und jetzt gucken wir
- gleich uns noch ähm das exakte Ergebnis an. Aber falls ihr das hier rausbekommt und gerundete Ergebnisse für euch in Ordnung sind, dann müssen wir nur noch
- die Betragsstriche hier drauf anwenden, denn die sagen, das Ergebnis muss positiv sein. Also aus der -12,9 machen wir dann eine 12,9 und das wäre unser
- gerundeter Abstand. Wenn wir es allerdings exakt brauchen, dann sollten wir äh die Teile hier im Bruch einzeln ausrechnen. Also
- nur der Teil oben in Taschenrechner eintippen und ausrechnen. Da kriegen wir ein Wert von -16 raus und dann dasselbe unten. Aber auch nicht die Wurzel
- berechnen, sondern die Wurzel lasst ihr stehen und dann tippt ihr nur das unter der Wurzel in Taschenrechner ein und da kriegen wir einen Wert von 166 raus. Und
- das machen wir jetzt noch ein bisschen schöner und erhalten gleich einen exakten Wert. Wir können uns jetzt schon mal um die Betragsstriche kümmern, denn
- die sagen ja, das Ergebnis muss positiv werden. Also -16. Ah ah, das ist minus. lassen wir mal schön verschwinden. Wir schreiben
- nur die 166 hier rein. Und die Wurzel von 166, die ist sowieso immer positiv. Da müssen wir gar nichts dran ändern. Und jetzt kann man das entweder so
- stehen lassen oder noch ein Ticken schöner machen, denn dadurch, dass die Zahlen gleich sind, können wir hier noch kürzen. Die
- 166, da steckt ja die Wurzel von 166 auch drin, denn die Zahl können wir schreiben als Wurzel mal Wurzel und zwar Wurzel von genau dieser Zahl mal die
- Wurzel von genau dieser Zahl, ne? Also jede Zahl kann man immer als zwei Wurzeln schreiben, die miteinander multipliziert werden. Also statt der 166
- packen wir da dieses Produkt rein. Verlängern hier vielleicht mal den Bruchstrich noch ein bisschen. Und jetzt können wir nämlich kürzen. Eine dieser
- Wurzeln kann weg und letztendlich haben wir den exakten Wert von Wurzel aus 166 für unseren Abstand. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen
- kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video.
- Macht's gut.