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Abstand windschiefer Geraden (mit Hilfsebene)
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 40 Zeilen
- Scheiße, Hunger und natürlich nichts dabei. Wo ist der nächste Meges? Oh oh, auf dem Weg zur Party und vergessen Alk mitzubringen. Bevor man gekillt wird,
- besser mal noch schnell zu Tanke. Nur wie weit ist es dahin? Und ganz blöd, alles dabei für die Shisha. Nur der Tabak fehlt. Wie weit bis zum nächsten
- Tabakladen? Mindestens eins davon kennt ihr bestimmt alle. Aber was soll das jetzt? Heute geht's auch um Entfernung, nämlich um den Abstand zwischen
- windschiefen Geraden. [Musik] Wind schief. Was heißt es überhaupt? Zwei Geraden sind genau dann wind
- schief, wenn erstens sie sich nicht schneiden, wenn es also keinen Punkt gibt, an dem beide Geraden sich treffen und zweitens sie nicht parallel sind.
- Also, wenn ihre Richtungsvektoren nicht in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen, könnt ihr euch also so vorstellen. Im ersten Stock von dem Haus
- baut ihr einen Flur von Westen nach Osten. Wenn ihr jetzt im zweiten Stock einen von Süden nach Norden baut, sind die Flure wind schief, weil sie
- schneiden sich nicht, sie sind ja unterschiedliche Stockwerke und sie sind auch definitiv nicht parallel, außer euer Kompass ist Mist. Wie kriegen wir
- aber den Abstand zwischen zwei solcher Geraden raus? Klar, gibt natürlich mehrere Möglichkeiten, wie immer in Mathe. Wir sagen jetzt mal, dass wir nur
- den Abstand wollen. Welche zwei Punkte auf den Geraden den Abstand haben, ist uns Wurst. Warum? Weil es weniger zu machen ist. Gucken wir uns noch mal das
- Beispiel mit den Stockwerken an. Der Abstand zwischen beiden Fluren ist genau ein Stock. Da ist natürlich wichtig, dass man genau die zwei Punkte nimmt,
- die senkrecht untereinander liegen. Die zwei Punkte zufällig zu finden, ist aber sau schwer. Deshalb braucht man einen Trick. Der Trick ist sich eine Ebene
- zusätzlich zu bauen. In der liegt der untere Flur. Die Ebene ist also quasi einfach der erste Stock und die Ebene baut man so, dass sie parallel zu beiden
- geraten ist. Warum das was bringt? Ganz einfach. Ihr geht jetzt von irgendwo im oberen Flur senkrecht runter zum ersten Stock. Der Weg, den ihr dabei macht, ist
- immer gleich lang, weil die Gerade parallel zur Ebene ist und immer gleich groß dem Abstand von beiden Geraden. Die orangene Linie ist also gleich lang wie
- die grüne. So, aber wie bekommen wir die Ebene raus? Die Ebene soll ja parallel zu beiden Geraden sein. Also nehmen wir als Richtungsvektoren der Ebene vom
- ersten Stock einfach die beiden Richtungsvektoren von den Geraden. Die Ebene vom ersten Stock lässt sich also über den dunkel und hellblauen
- Richtungsvektor aufstellen und der Stützpunkt für die Ebene. Dann nehmen wir einfach den Stützpunkt von der Gerade, die in der Ebene drin liegt. Wir
- haben ja eins gesagt, es ist egal von wo man im zweiten Flur runtergeht. Der Abstand ist immer der gleiche. Also, ich kann jetzt einen beliebigen Punkt auf
- der oberen Gerade nehmen und von dort aus runtergehen zu meinem ersten Stock. Dann ist das der Abstand zwischen beiden Graben. Und weil wir es uns einfach
- machen, nehmen wir mal als Punkt einfach den Stützpunkt vom Flur im zweiten Stock. Also, wir berechnen jetzt den Abstand zwischen unserem Stützpunkt vom
- Flur 2 zu unteren Hilfsebene, die wir aufgestellt haben. Und die untere Hilfsebene ist einfach unser erster Stock. Und den Abstand von einem Punkt
- zu einer Ebene könnt ihr noch alle, zumindest wenn ihr unser Video dazu geguckt habt. Ja, dazu gibt's nämlich eine ganz einfache Formel. Der Abstand d
- = dem Betrag von P - A* N durch den Betrag von N. P nennen wir mal den Punkt, von dem ihr den Abstand zur Ebene wollt. A soll irgendein Punkt auf der
- Ebene sein. N ist der normalen Vektor von der Ebene. Soweit so gut. Für den Punkt P nehmen wir einfach den Stützpunkt vom Flur im zweiten Stock.
- haben wir ja gesagt. Für den Punkt in der Ebene können wir ja einfach den Stützpunkt vom Flur im ersten Stock nehmen. Warum? Ja, den haben wir ja
- vorhin auch als Stützpunkt für die Ebene genommen. Also liegt der mal sowas von sicher in der Ebene. Einziges Problem, den normalen Vektor brauchen wir mal
- noch, aber das ist auch gar kein Problem. Die Richtungsvektoren vom ersten Stock haben wir ja sind ja die Richtungsvektoren von den beiden Geraden
- und aus denen kriegen wir den normalen Vektor ja ganz einfach mit dem Kreuzprodukt aus beiden Richtungsvektoren, die wir mal R und S
- nennen. Perfekt. Das gerade noch in die Abstandsformel einsetzen, dann habt ihr den Abstand von beiden Fluren. Und noch geiler, die Formel funktioniert auch,
- wenn sich die Geraden schneiden. Nur eins müsst ihr vorher trotzdem checken. Parallel dürfen sie leider nicht sein. Ja, hartes Stück Arbeit, aber der
- Schnelldurchlauf geht fix. Schritt 1: Die Richtungsvektoren dürfen nicht parallel sein, weil wenn die parallel wären, wären ja auch die beiden Geraden
- parallel und dann funzt die Formel nicht. Dazu müsst ihr gucken, dass man den einen Richtungsvektor mit keiner Zahl mal nehmen kann, dass der andere
- rauskommt. Schritt 2: Den normalen Vektor aus den Richtungsvektoren der Geraden berechnen. Dazu einfach das stinkt normale Kreuzprodukt aus den
- beiden Richtungsvektoren von den Geraden machen. Welche zuerst kommt, ist Wurst. Schritt 3: Alles in die Abstandsformel einsetzen. Für P und A jeweils die
- Stützpunkte von den Geraden einsetzen. Und n habt ihr ja Grand ausgerechnet und bam, schon fertig. Gerade noch eine kurze Aufgabe. Berechnet den Abstand von
- den Geraden G123 + R* -101 und H100 + S* 0 1 -1. Lösung gibt's wie immer im Lösungsvideo dazu, sobald ihr es mal wieder für euch
- ausprobiert habt. Schreibt die Lösung aber trotzdem mal in die Comments. Wenn irgendwas noch nicht klar war, könnt ihr ja auch fragen. Wir oder die The Simple
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