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Lineare ABHÄNGIGKEIT und UNABHÄNGIGKEIT von VEKTOREN (KOLLINEARE und KOMPLANARE Vektoren)
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 76 Zeilen
- hallo heute geht es um die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren wir schauen uns das ganze erstmal bei zwei Vektoren an und dann
- erweitern wir das ganze auf drei Vektoren dann fangen wir mal an also zwei Vektoren sind dann linear abhängig wenn der eine Vektor das Vielfache von
- dem anderen Vektor ist die können dann zum Beispiel in die selber Richtung zeigen und verschieden langsam aber die können auch in die entgegengesetzte
- Richtung zeigen und entweder gleich langsam oder auch verschieden lang sein auf der linken Seite können wir jetzt das Beispiel nehmen dass der linke
- Vektor 1 2 4 ist und der rechte Vektor 248 dann sehen wir dass der rechte Vektor das Zweifache von dem linkenvektor ist
- also wenn wir hier das ganze mal zwei nehmen dann sehen wir die Gleichung stimmt also sind die beiden Vektoren 1 2 4 und 248 linear abhängig voneinander
- man nennt das ganze auch kohlliner auf der linken Seite nehmen wir jetzt mal als Beispiel -1 - 2 und -4 und der andere Vektor ist wieder zwei
- vier acht jetzt sehen wir hier auch dass der rechte Vektor das Minus
- zweifache von dem linken Vektor ist also wenn wir das hier mal -2 nehmen dann stimmt ja die Gleichung wieder also sind die beiden Vektoren -1 - 2 - 4 und 2 4 8
- die näher abhängig voneinander und wann sind jetzt zwei Vektoren linear unabhängig voneinander wenn der eine Vektor nicht das Vielfache von dem
- anderen Vektor ist in dem Fall zeigen sie dann natürlich auch nicht in dieselbe Richtung oder auch nicht in die entgegengesetzte Richtung die könnten
- z.B so aussehen einer zeigt nach da und der andere nach da jetzt können wir wieder Beispiele dafür nehmen der eine Vektor ist z.B Null fünf eins
- und der andere Vektor ist 2 3 4 jetzt schauen wir mal ob der linke Vektor einen Vielfaches von dem rechten Vektor ist dafür multiplizieren wir das
- mit R und lösen jetzt auf also die erste Zeile wäre 0 ist gleich R mal 2 die zweite Zeile wäre 5 ist gleich R mal 3
- und die letzte Zeile wäre 1 ist gleich R mal 4 jetzt können wir die erste Zeile auflösen also das ganze nachher aufgelöst da müssen wir durch zwei
- Teilen 0 durch 2 das wäre 0 also ist unser r 0 und jetzt muss hier unten überall auch die Null rauskommen damit es linear abhängig ist und wenn wir
- jetzt in der zweiten Zeile das nachher auflösen da müssen wir das Ganze durch 3 teilen dann steht da fünf Drittel = R da sehen wir schon hier sind zwei
- verschiedene erst eigentlich können wir jetzt schon aufhören aber wir können auch die letzte Zeile noch berechnen wenn wir das nachher auflösen dann
- erhalten wir einen Viertel für R also das sind alles verschiedene Zahlen also gibt es kein Vielfaches das diese Gleichung hier auflöst also sind die
- beiden Vektoren die näher unabhängig oder nicht koordinieren und wie sieht das ganze jetzt bei drei Vektoren aus wir stellen uns mal so eine Ebene vor
- das könnte zum Beispiel ein Fußboden sein und da drauf liegen jetzt die Vektoren
- also genau auf dieser Ebene auf diesem Fußboden und wenn das der Fall ist wenn die auf einer Ebene liegen dann sind sie linear abhängig man nennt das ganze auch
- komplett nah wir machen das Ganze wieder mit einem Zahlenbeispiel dafür ist der eine Vektor 2 3
- dann der andere Vektor 1 1 4 und der letzte Vektor 2 2 8 jetzt müssen wir den 0 Vektor folgendermaßen darstellen jetzt nehmen
- wir ein Vielfaches und multiplizieren es mit dem ersten Vektor dann addieren wir das Vielfache von dem zweiten Vektor dann noch das Vielfache von dem dritten
- Vektor dabei ist aber ganz wichtig dass er es und T nicht gleichzeitig Null sein dürfen also ja dürfte zum Beispiel Null sein aber
- dann müsste hier zum Beispiel eine Eins sein und bei Tee zum Beispiel eine zweite es geht aber wenn alle drei Variablen
- gleich Null sind dann sind die drei Vektoren linear unabhängig jetzt müssen wir schauen ob
- wir zahlen für RS und T finden das diese Gleichung auflöst und das können wir mit dem gauß-algorithmus machen das letzte Mal hatte ich euch ein Video dazu
- vorbereitet und wenn ihr nicht genau wisst wie das funktioniert könnt ihr gerne noch mal reinschauen wenn wir das ganze jetzt in Gleichungen umändern dann
- sieht das ganze so aus dann haben wir drei Gleichungen und drei Unbekannte und mit dem gauß-albothmus möchte man nicht hier die Zeilenstufenform bekommen das
- heißt diese drei Zeilen 3R 3 R und 4S möchten wir ihn 0 umändern und da müssen wir uns jetzt überlegen wie wir das machen können wir könnten zum Beispiel
- die zweite Zeile Minus drei halbe mal die erste Teil nehmen und das in die zweite Zeile eintragen dann
- sieht das ganze so aus also die erste Zeile erstmal abschreiben und dann rechnen wir das ganze 3 R minus drei halbe mal 2 R das ergibt 0 also
- können wir auch weglassen müssen wir nicht eintragen jetzt sind wir hier s-3 halbe mal s ergibt minus einhalb es und 2 t minus drei halbe Mahlzeit ergibt
- minus t und auf der rechten Seite ist das ganze Jahr 0 und die letzte Zahl schreiben wir auch noch ab
- so jetzt können wir die dritte Zeile minus drei halbe mal die erste Zeile nehmen und das ganze in die dritte Zeile eintragen dann bleiben die ersten beiden
- Zeilen so stehen jetzt müssen wir wieder rechnen 3 R minus drei halbe mal 2R das ergibt 0
- also können wir weglassen dann 4S minus drei halbe mal ist das ergibt 5 halbe S 8 t minus drei halbe mal 2 t ergibt + 5T und die rechte Seite bleibt Null jetzt
- brauchen wir hier noch die 0 und dafür können wir jetzt die dritte Zeile plus 5 mal die zweite Zeile nehmen und in die
- dritte Zeile eintragen dann bleiben die ersten beiden Zeilen wieder stehen zwei R plus s plus 2 t - 1/2s - T
- = 0 für halbe s minus 1/2s mal 5 das ergibt 0 also können wir es weglassen dann 5 t minus 5 mal t vergibt auch 0 also haben wir hier
- auf der linken Seite insgesamt 0 und auf der rechten Seite ist das ganze auch neu so jetzt haben wir nur noch die erste und die zweite Zeile mit dem wir weiter
- arbeiten können und hier können wir in der zweiten Zeile das nach einer Variable umformen dazu habe ich mir jetzt das S ausgesucht also wir formen
- das Ganze nach essum jetzt können wir das T mit plus rüberbringen dann steht auf der linken Seite minus einhalb es gleich t jetzt können wir auf beiden
- Seiten mal -2 nehmen und dann steht auf der linken Seite S und auf der rechten Seite -2 t das können wir jetzt für das S in der ersten Zeile einsetzen dann
- steht da 2 R minus 2 t also das was wir hier rausbekommen haben und dann plus zwei t das ist 0 und hier minus zwei t plus 2 t
- = 0 dann steht da 2 r + 0 = 0 also 2 r = 0 und das Ganze durch 2 ergibt er = 0 dann haben wir die Werte r = 0 s
- = -2 t und t haben wir als Tee gelassen hier können wir jetzt für Tee Zahlen einsetzen die sind frei wählbar werden wir zum Beispiel für Tee 1 einsetzen
- dann hätten wir für r 0 für s minus zwei mal eins ist -2 und für t die 1 ihr könnt natürlich auch ganz andere Zahlen einsetzen auf jeden Fall
- wäre das eine Möglichkeit diese Gleichung was wir vorhin hatten hier zu lösen und jetzt können wir die Zahlen für RS und T einsetzen und dann bekommen
- wir den Nullvektor raus also er war ja 0 mal jetzt zwei drei drei es war -2 also können wir direkt minus 2 mal
- 1.14 hinschreiben und dann t war ja 1 also plus einmal zwei zwei acht und das Ganze ergibt dann
- den Nullvektor also sind diese drei Vektoren linear abhängig oder auch komplett nah und wie sieht das Ganze aus wenn die drei
- Vektoren die ihr unabhängig sind oder nicht wir zeichnen jetzt wieder mal eine Ebene
- jetzt liegen zum Beispiel zwei Vektoren auf dieser Ebene aber ein Vektor liegt nicht auf der Ebene sondern die steht so da drauf wenn wir so einen Fall haben
- dann sind die linearunabhängig oder nicht komplett nach wir können jetzt wieder ein Zahlenbeispiel nehmen also er mal
- zwei drei plus s mal 214 plus T x 2,8
- und das ganze muss ja 0,00 ergeben damit es linear abhängig ist jetzt überprüfen wir das ganze wieder das sind jetzt die drei Gleichungen wir wollen ja hier
- wieder Nullen erzeugen und dafür überlegen wir uns wieder wie wir vorgehen also wir könnten ja von der zweiten Zeile wieder
- drei halbe mal die erste Zeile abziehen dann bleibt die erste Zeit stehen
- in der zweiten Zeile haben wir hier an dieser Stelle 0 weil 3r-3 halbe mal 2 r = 0 also können wir es auch weglassen
- dann steht hier es minus 3/2 mal 2S und das ergibt -2s hier haben wir 2 t minus 3,5 * 2 t und das ergibt minus t
- und auf der rechten Seite wieder die Null die dritte Zeile können wir auch wieder abschreiben
- jetzt können wir von der dritten Zeile drei halbe mal die erste Zeile abziehen und das sind die dritte Zeile eintragen dann können wir erstmal die ersten
- beiden Zahlen abschreiben 4S minus drei halbe mal 2S ergibt es 8 -
- 3/2*2 T ergibt 5T und die rechte Seite ist wieder 0 jetzt möchten wir noch das S wegbekommen also können wir ja die dritte Zeile plus
- die Hälfte der zweiten Zeile nehmen also schreiben wir die ersten beiden Zahlen wieder ab
- S - 2S mal ein halb ergibt 0 also können wir das Weglassen 5T - T mal 1/2 ergibt 9 1/2 t und auf der rechten Seite haben wir wieder die 0
- jetzt können wir die dritte Gleichung nach Tee umformen dafür müssten wir die 0 durch 9 halbe teilen und das ergibt für t = 0 das
- können wir jetzt in die zweite Zeile einsetzen dann steht da -2s - 0 = 0 also -2s = 0 und das umgeformt nach S da müssten
- wir die 0 durch die -2 teilen und das ergibt 0 also es ist gleich null jetzt können wir t = 0 und S = 0 in die erste Gleichung einsetzen dann steht da zwei R
- plus 2 mal s also 2 * 0 wäre 0 plus 2 mal t also zwei mal 0 wäre wieder 0 = 0 dann haben wir zwei r = 0 und das nach R umgeformt dann müssen wir die 0
- durch 2 teilen also ist unser r 0 und da wird den Fall haben dass alle drei Variablen also er = 0
- = 0 und T = 0 ist sind diese Vektoren die näher unabhängig oder nicht komplett so das war's dann zu dem Thema lineare Abhängigkeit und
- Unabhängigkeit ich hoffe das hat euch weitergeholfen und wir sehen uns dann das nächste Mal macht's gut