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Permutation einfach erklärt I musstewissen Mathe
Das Wichtigste aus dem Video
Transkriptautomatisch erstellt · 70 Zeilen
- Könnt ihr einen Fisch zum Fliegen bringen? Nichts einfacher als das!
- Wenn man Dinge in eine andere Reihenfolge bringt, nennen Mathematiker das eine Permutation.
- Und davon gibt es, na ja, ziemlich viele. Was eine Permutation genau ist
- und was das alles mit der vielleicht kürzesten Formel der Welt zu tun hat, das erfahrt ihr in diesem Video.
- Fangen wir lieber klein an und nehmen nur vier Buchstaben. Daraus kann man ein paar sinnvolle Wörter bilden.
- "Stab", "Bast", "Tabs", das Kloster des "Abts", englisch "Bats". Und ein paar sinnlose wie "BSTA", "TBAS" oder "SBTA"
- und natürlich "ABST" selbst. Wie viele solcher Wörter, egal ob sinnvoll oder sinnlos,
- kann man insgesamt aus diesen vier Buchstaben jetzt bilden? Die einfachste Idee ist bestimmt:
- Man schreibt einfach alle Möglichkeiten auf und zählt nach. Die Anzahl der Möglichkeiten, wie wir die Buchstaben anordnen können,
- nennen die Mathematiker dann auch: die Anzahl der Permutationen. Dann fangen wir mal an mit den Permutationen.
- "STAB", "STBA", "SABT", "BSAT", "TSBA". Kommt ihr noch mit?
- Ich sag's euch jetzt mal: In diesem Fall haben wir 24 Permutationen. Und sind das jetzt alle? Haben wir nix vergessen?
- Nichts doppelt? Wirklich nicht? Das ist einfach unübersichtlich.
- Und, man ahnt es schon, je mehr Buchstaben man hat, desto mehr Permutationen gibt es
- und desto unübersichtlicher wird es und desto schneller macht man einen Fehler. Aber hier gibt es eine Lösung, nämlich ein Baumdiagramm.
- Dafür nehmen wir uns die Buchstaben im Wort einzeln vor. Und zwar nicht die Buchstaben selbst,
- sondern die Position, die sie im Wort einnehmen. Für den ersten Buchstaben haben wir insgesamt vier Möglichkeiten,
- nämlich A, B, S oder T. Unser Baum hat also am Anfang vier Zweige, die von einem Punkt ausgehen.
- Unser Baum wächst jetzt nicht von unten nach oben, wie es Bäume eigentlich machen.
- Er wächst von links nach rechts. Das ist eine Eigenart von mathematischen Bäumen.
- Schauen wir uns den Ast mit dem A an: Für den zweiten Buchstaben haben wir jetzt nur noch drei Möglichkeiten,
- nämlich B, S und T. Das A geht nicht, das haben wir ja schon verbraucht.
- Bei den anderen drei Ästen machen wir das genauso. An das B als ersten Buchstaben kommen A, S und T.
- An das S kommen A, B und T und an das T kommen A, B und S. Der Baum hat jetzt zwölf Enden.
- Das können wir einfach nachzählen. Es geht aber noch geschickter.
- Das hier ist ein sogenannter Hauptast. An jedem unserer vier Hauptäste setzen drei kleinere Zweige an.
- Weil wir vier Hauptäste haben, passiert das also viermal. Insgesamt sind das also 4 mal 3, das gleich 12 kleine Zweige.
- Jede Zwei-Buchstaben-Kombination aus A, B, S und T entspricht genau einem Pfad.
- Das heißt, vom Anfang des Hauptastes ganz links, der auch Wurzel genannt wird, bis zu einem der Enden rechts: Diesen Weg nennt man Pfad.
- Der erste Buchstabe legt den Hauptast fest, der zweite den kleinen Zweig.
- Wie geht es jetzt mit dem dritten Buchstaben weiter? Tja, was einmal funktioniert hat, muss doch auch noch mal klappen.
- Das machen wir so weiter, wie wir uns das eben überlegt haben. Genau: Aus jedem der zwölf Enden des Baumes sprießen zwei neue Zweige,
- jeweils einer für die beiden Buchstaben, die bis hierhin noch nicht "verbraucht" wurden.
- Zum Beispiel: An den alten Zweig, der zu "SB" gehört, wächst ein A und ein T, für die Dreierkombination "SBA" und "SBT".
- Wie viele dieser Kombinationen aus drei Buchstaben, auch Dreierkombos genannt, sind das jetzt?
- 12 alte Zweige mal je zwei neue Zweige sind: 12 * 2 = 24 neue Zweige. Für den vierten Buchstaben haben wir jetzt keine Wahl mehr.
- Bei jeder Dreierkombo ist ja nur noch ein einziger Buchstabe übrig. Das heißt, an jedem bisherigen Ende wächst ein einsames, dürres Ästchen.
- Oh. Jetzt ist der Baum fertig.
- Der Vollständigkeit halber können wir jetzt noch rechnen: 24 * 1 = 24. Ja, toll, jetzt weiß ich, wie man die Buchstaben A, B, S und T vertauscht,
- was soll ich damit? Na ja, bei dem Baum kam es auf die Buchstaben A, B, S und T nicht an.
- Es können auch vier andere Buchstaben sein oder vier Zahlen. Also, ob das jetzt Zahlen oder Buchstaben oder was auch immer sind,
- die da in verschiedene Reihenfolge gebracht werden, ist völlig egal. Wichtig ist was ganz anderes.
- Die Dinger müssen unterschiedlich sein. Wenn ich vier identische As nehme, dann ergibt das Vertauschen ja keinen Sinn.
- Es bleibt immer die gleiche Reihenfolge. Was ist jetzt, wenn wir fünf Sachen vertauschen?
- Müssen wir da auch den ganzen Baum zeichnen? Boah. Nein, denn ganz ehrlich,
- wenn wir uns jetzt unseren aufwändig gemalten Baum mal anschauen, dann müssen wir nie wieder einen Baum malen.
- Schauen wir uns nur den Anfang an: Für den ersten Buchstaben haben wir fünf Möglichkeiten.
- Und wir wissen ja jetzt, wie der Baum weiterwächst. Wir müssen ihn nicht zeichnen, weil wir verstanden haben,
- was bei jedem neuen Buchstaben passiert. Für den zweiten Buchstaben bekommt jedes der fünf Enden vier neue Zweige,
- also zusammen 20 Zweige. Für den dritten Buchstaben bekommt jedes der 20 Enden drei neue Zweige,
- also zusammen 60 Zweige und so weiter, fertig. Und das können wir jetzt noch etwas abkürzen.
- Was haben wir hier insgesamt gerechnet? Bei fünf Buchstaben: 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1.
- Bei vier Buchstaben hatten wir: 4 mal 3 mal 2 mal 1. Wir haben also nur die absteigenden Zahlen von 5 bis 1
- beziehungsweise von 4 bis 1 miteinander multipliziert. Aufsteigend kommt natürlich genau dasselbe raus, Kommutativgesetz.
- Das könnt ihr euch in diesem Video ansehen, wenn ihr das nicht mehr im Kopf habt.
- Produkte, die so aufgebaut sind, kommen in der Mathematik immer wieder vor. Deshalb haben sie einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol bekommen:
- Sie heißen Fakultät und als Symbol bekommen sie das "!". Für das Produkt "1 mal 2 mal 3 mal 4" schreibt man 4,
- gefolgt von einem Ausrufezeichen, und sagt: "Vier Fakultät".
- Für die 5 und jede andere natürliche Zahl genauso. Und ganz allgemein sagt man: n Fakultät = 1 mal 2 mal 3 ... mal n.
- Für die Anzahl der Permutationen von n-verschiedenen Dingen, Pn, haben wir:
- Das ist doch mal eine handliche Formel, oder? Übrigens, mehr als 40.000 Permutationen
- gibt es für die acht Buchstaben von Schwalbe. Also ganz schön viel.
- Dass die Anzahl der Permutationen schnell sehr groß wird, seht ihr auch an diesem Beispiel hier:
- Ich habe elf Bücher. Da gibt es rund 40 Millionen Möglichkeiten,
- diese in ein Regal einzusortieren. Wenn ich nur eine Minute bräuchte, um die Bücher einmal einzusortieren
- und wieder auszuräumen, dann bräuchte ich 75 Jahre, Tag und Nacht, 24 Stunden am Tag,
- um alle Permutationen einmal ins Regal zu räumen. Da ist's doch schön,
- wenn man die Zeit mit etwas Angenehmeren verbringen kann. So, das war's zu den Permutationen und Fakultäten.
- Fragen und Ideen könnt ihr als Kommentare hinterlassen und wir freuen uns über jeden Daumen nach oben und jedes Abo. Bis dann!
- Untertitel im Auftrag des ZDF für funk, 2017