Ebenengleichung aus Punkt und Normalenvektor
Wie stellst du aus einem Punkt P und einem Normalenvektor \vec n die Ebenengleichung in Koordinatenform auf?
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Rechenweg
So rechnest du selbst
E\colon\; n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d \quad\text{mit}\quad d = \vec n \cdot \vec p = n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3
- Die Komponenten von \vec n werden die Koeffizienten: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d.
- d bestimmen: den Punkt P einsetzen, d = n_1 p_1 + n_2 p_2 + n_3 p_3.
- Abstand zum Ursprung (Hessesche Normalform): \frac{|d|}{|\vec n|}.
- Spurpunkte zum Zeichnen: je zwei Koordinaten 0 setzen, z. B. S_1\left(\frac{d}{n_1} \mid 0 \mid 0\right).
Typische Fehler
- d falsch bestimmt: d ist \vec n \cdot \vec p, nicht die Summe der Koordinaten von P. Mit P(1 \mid 0 \mid 1) und \vec n = (2 \mid -1 \mid 2) ist d = 2 + 0 + 2 = 4.
- Punkt statt Normalenvektor als Koeffizienten: In n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d stehen die Komponenten von \vec n vor den x_i, nicht die von P.
- Betrag vergessen: Der Abstand zum Ursprung ist \frac{|d|}{|\vec n|} – ohne Betrag käme bei d = -11 ein negativer Abstand heraus.