Skalarprodukt von Vektoren berechnen
Wie berechnest du das Skalarprodukt \vec a \cdot \vec b zweier Vektoren – und was verrät es über den Winkel?
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Rechenweg
So rechnest du selbst
\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_1 b_1 + a_2 b_2
- Die ersten Komponenten multiplizieren: a_1 \cdot b_1.
- Die zweiten Komponenten multiplizieren: a_2 \cdot b_2.
- Beide Produkte addieren – das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
- Vorzeichen deuten: positiv → spitzer Winkel, 0 → senkrecht, negativ → stumpfer Winkel.
Typische Fehler
- Ergebnis als Vektor geschrieben: \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} ist nicht \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \end{pmatrix}, sondern die Zahl 8 + (-3) = 5.
- Über Kreuz multipliziert: a_1 b_2 + a_2 b_1 ist falsch – immer gleiche Komponenten: erste mal erste, zweite mal zweite.
- Vorzeichen verloren: 3 \cdot (-1) = -3, also 8 + (-3) = 5 und nicht 11.