Quadratische Gleichung mit Rechenweg berechnen
Wie löst du eine quadratische Gleichung ax^2 + bx + c = 0 – und wie entscheidet die Diskriminante, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt?
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Rechenweg
So rechnest du selbst
ax^2 + bx + c = 0 \quad\Rightarrow\quad D = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
- Bring die Gleichung in die Form ax^2 + bx + c = 0 – rechts muss 0 stehen. Aus x^2 + 3x = 40 wird x^2 + 3x - 40 = 0, also a = 1, b = 3, c = -40.
- Berechne die Diskriminante D = b^2 - 4ac: hier 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 169. Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen, bei D = 0 eine, bei D < 0 keine.
- Setz in die abc-Formel (Mitternachtsformel) ein: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 13}{2}, also x_1 = 5 und x_2 = -8.
- Mit der pq-Formel teilst du zuerst durch a (x^2 + px + q = 0) und rechnest x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} – das Ergebnis ist dasselbe.
Typische Fehler
- Vorzeichen von b vergessen: Bei 2x^2 - 5x - 3 = 0 ist b = -5, also -b = 5 und b^2 = (-5)^2 = 25 – nicht -25.
- Nicht auf 0 gebracht: Aus x^2 + 3x = 40 darfst du nicht c = 40 ablesen. Erst -40 auf beiden Seiten: x^2 + 3x - 40 = 0, also c = -40.
- pq-Formel ohne Teilen durch a: Bei 2x^2 - 8x + 6 = 0 ist nicht p = -8, sondern erst durch 2 teilen: x^2 - 4x + 3 = 0, also p = -4 und q = 3.
- Nur durch 2 statt durch 2a geteilt: Bei a = 2 steht im Nenner 2 \cdot 2 = 4: x = \frac{5 \pm 7}{4}, also 3 und -0{,}5.