pq-Formel: Quadratische Gleichungen lösen
Mit der pq-Formel löst du quadratische Gleichungen in Normalform. Du lernst Normieren, Einsetzen mit Vorzeichen und was die Diskriminante verrät.
Kurz gesagt
Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen der Form x^2 + px + q = 0: x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}. Du liest p und q mit Vorzeichen ab und rechnest einmal mit Plus, einmal mit Minus. Vorher muss vor x^2 eine 1 stehen.
Viele Aufgaben zu Flächen oder Flugbahnen führen auf quadratische Gleichungen. Mit der pq-Formel löst du sie, sobald sie in der Normalform x^2 + px + q = 0 stehen. Du liest p und q mit ihren Vorzeichen ab, setzt sie in die Formel ein und berechnest den Plus- und den Minuszweig.
Deine Lernziele
Die pq-Formel passt nur zu Gleichungen, bei denen vor x^2 der Faktor 1 steht und auf der rechten Seite 0. Steht rechts noch eine Zahl, bringst du alle Terme auf eine Seite. Bei x^2 + 4x = 3 ziehst du auf beiden Seiten 3 ab und erhältst x^2 + 4x - 3 = 0. Steht vor x^2 ein anderer Faktor, teilst du jeden Term der Gleichung durch diesen Faktor. Aus 2x^2 - 8x + 6 = 0 wird so x^2 - 4x + 3 = 0. Fehlt ein Term, ist sein Wert 0.
Normalform
Eine quadratische Gleichung steht in Normalform, wenn sie x^2 + px + q = 0 lautet. Dabei ist p der Koeffizient vor x und q der konstante Term ohne x.
| Gleichung | p | q |
|---|---|---|
| x^2 + 4x = 0 | 4 | 0 |
| x^2 + 3 = 0 | 0 | 3 |
| x^2 - x + 3 = 0 | −1 | 3 |
| x^2 + x + 3 = 0 | 1 | 3 |
Merke: Lies p und q erst ab, wenn links die Normalform und rechts 0 steht.
Teste dich
Für x^2 + px + q = 0 lautet die pq-Formel: x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} Das Zeichen \pm bedeutet, dass du zwei Zweige rechnest: einmal mit Plus und einmal mit Minus. Gehe immer gleich vor. Stelle die Normalform her und lies p und q mit ihren Vorzeichen ab. Setze beide Werte in Klammern ein. Berechne den Plus- und den Minuszweig getrennt und notiere die Lösungsmenge. Zur Kontrolle setzt du die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein.
Beispiel: x^2 - 2x - 8 = 0 lösen
- 1Normalform liegt vor: p = -2 und q = -8
- 2Einsetzen: x_{1,2} = -\frac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2 - (-8)}
- 3Vereinfachen: -\frac{-2}{2} = 1 und \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3
- 4x_1 = 1 + 3 = 4 und x_2 = 1 - 3 = -2
- 5L = \{-2; 4\}
Teste dich
Der Wert unter der Wurzel zeigt dir schon vor dem letzten Rechenschritt, wie viele reelle Lösungen es gibt. Ist er positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist er 0, ergeben Plus- und Minuszweig denselben Wert, es gibt genau eine Lösung. Ist er negativ, gibt es keine reelle Lösung, weil eine negative Zahl in den reellen Zahlen keine Quadratwurzel hat. Eine negative Diskriminante ist also kein Rechenfehler, sondern ein mögliches Ergebnis.
Diskriminante
Der Wert unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q. Ihr Vorzeichen zeigt die Anzahl der reellen Lösungen.
Beispiel: x^2 - 12x + 36 = 0: genau eine Lösung
- 1p = -12 und q = 36
- 2D = \left(\frac{-12}{2}\right)^2 - 36 = 36 - 36 = 0
- 3Beide Zweige fallen zusammen: x = -\frac{-12}{2} = 6
- 4L = \{6\}
Beispiel: x^2 + 2x + 4 = 0: keine reelle Lösung
- 1p = 2 und q = 4
- 2D = \left(\frac{2}{2}\right)^2 - 4 = 1 - 4 = -3
- 3D ist negativ, also gibt es keine reelle Lösung: L = \{\}
Teste dich
Die meisten Fehler passieren, bevor du die Formel überhaupt anwendest. Beim Normieren musst du jeden Term teilen, nicht nur den ersten. Vorzeichen gehen leicht verloren: Aus q = -44 wird in der Formel -(-44) = +44. Quadriert wird der ganze Ausdruck \frac{p}{2}, deshalb gehört er in Klammern. Das \pm verlangt eine Plus- und eine Minusrechnung. Und bei negativer Diskriminante schreibst du genau: Es gibt keine reelle Lösung.
Beispiel: 4x^2 + 80x - 176 = 0 lösen
- 1Durch 4 teilen: x^2 + 20x - 44 = 0
- 2p = 20 und q = -44
- 3Einsetzen: x_{1,2} = -\frac{20}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{20}{2}\right)^2 - (-44)}
- 4Wurzel: \sqrt{100 + 44} = \sqrt{144} = 12
- 5x_1 = -10 + 12 = 2 und x_2 = -10 - 12 = -22
- 6L = \{-22; 2\}
Teste dich
Alles auf einen Blick
pq-Formel
x^2 + px + q = 0, vor x^2 steht 1, rechts 0
jeden Term durch den Faktor vor x^2 teilen
p und q mit Vorzeichen, in Klammern einsetzen
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}
positiv zwei, null eine, negativ keine reelle Lösung
Lösungen in die Ausgangsgleichung einsetzen
x^2 + 4x = 12 lösen
- 1Normalform: x^2 + 4x - 12 = 0
- 2p = 4 und q = -12
- 3-\frac{p}{2} = -2 und \sqrt{2^2 - (-12)} = \sqrt{16} = 4
- 4x_1 = -2 + 4 = 2 und x_2 = -2 - 4 = -6
- 5Probe: 2^2 + 4 \cdot 2 = 12 und (-6)^2 + 4 \cdot (-6) = 12
- 6L = \{-6; 2\}
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Minus mal minus ergibt plus: 1 - (-8) = 1 + 8 = 9. Dann ist \sqrt{9} = 3, und die Lösungen sind x_1 = -1 + 3 = 2 und x_2 = -1 - 3 = -4.
Lückentext
Um 2x^2 - 8x + 6 = 0 zu normieren, teilst du jeden Term durch . Dann ist p gleich und q gleich .