Mitternachtsformel: abc-Formel sicher anwenden
Mit der Mitternachtsformel löst du jede quadratische Gleichung. Du lernst, a, b und c abzulesen und mit der Diskriminante die Lösungen vorherzusagen.
Kurz gesagt
Die Mitternachtsformel (abc-Formel) löst jede quadratische Gleichung ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Die Diskriminante D = b^2 - 4ac zeigt vorher, ob es zwei (D > 0), eine (D = 0) oder keine reelle Lösung (D < 0) gibt.
Mit der Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, löst du jede quadratische Gleichung der Form ax^2+bx+c=0 mit a\ne0. Die Diskriminante zeigt dir vorher, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt.
Deine Lernziele
Du kannst die Formel anwenden, sobald die Gleichung in der Form ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0 vorliegt. Steht sie noch nicht so da, bringst du zuerst alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen Seite 0 steht, und fasst gleichartige Terme zusammen. Erst danach liest du die Koeffizienten ab. Beispiel: In 2x^2 - 7x + 3 = 0 gilt a = 2, b = -7 und c = 3.
Koeffizienten
Die Zahlen a, b und c heißen Koeffizienten. Dabei steht a vor x^2, b vor x und c ohne x. Das Vorzeichen gehört immer zur Zahl.
| Du siehst | Das bedeutet |
|---|---|
| x^2 | a = 1 |
| -x | b = -1 |
| kein x-Term | b = 0 |
| keine Zahl ohne x | c = 0 |
Merke: Lies nicht nur die Zahlen ab. Nimm ihre Vorzeichen mit.
Teste dich
Für ax^2 + bx + c = 0 lautet die Mitternachtsformel x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} Das Zeichen \pm bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus. Lies zuerst a, b und c mit Vorzeichen ab. Berechne dann den Ausdruck unter der Wurzel, setze ein und werte beide Fälle aus. Zum Schluss prüfst du die Lösungen durch Einsetzen.
Beispiel: x^2 + 5x + 6 = 0 lösen
- 1a = 1, b = 5, c = 6
- 2b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
- 3x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 1}{2}
- 4x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2
- 5x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3
- 6Probe: (-2)^2 + 5 \cdot (-2) + 6 = 0 und (-3)^2 + 5 \cdot (-3) + 6 = 0
- 7L = \{-3; -2\}
| Typischer Fehler | So vermeidest du ihn |
|---|---|
| Vorzeichen von b verloren | Bei b = -3 steht vorne -(-3) = 3. Setze negative Zahlen in Klammern. |
| Nur mit Plus gerechnet | Bei D > 0 gibt es zwei Fälle: einmal Plus, einmal Minus. |
| Zu früh abgelesen | Erst umformen und zusammenfassen, dann a, b und c ablesen. |
| „Keine Lösung“ bei D < 0 | Genauer: keine reelle Lösung. |
Merke: Sicherheitsroutine: Normalform – Vorzeichen – Diskriminante – zwei Fälle – Probe.
Teste dich
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = b^2 - 4ac. Aus einer negativen Zahl kannst du in den reellen Zahlen keine Wurzel ziehen. Deshalb entscheidet das Vorzeichen von D, wie viele reelle Lösungen es gibt. Rechne D also immer zuerst aus. „Keine Lösung“ bei D < 0 gilt für die reellen Zahlen. In den komplexen Zahlen gibt es auch dann Lösungen.
| Diskriminante | Reelle Lösungen | Bedeutung am Parabelgraphen |
|---|---|---|
| D>0 | zwei | Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. |
| D=0 | eine doppelte | Die Parabel berührt die x-Achse. |
| D<0 | keine | Die Parabel schneidet die x-Achse nicht. |
Beispiel: 4x^2 - 20x + 25 = 0 lösen
- 1a = 4, b = -20, c = 25
- 2D = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 400 - 400 = 0
- 3Plus und Minus liefern denselben Wert: x = \frac{-(-20)}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}
- 4Eine doppelte Lösung: L = \{\frac{5}{2}\}
Teste dich
Die Mitternachtsformel entsteht durch quadratische Ergänzung. Du formst ax^2 + bx + c = 0 so um, dass links ein binomisches Quadrat steht. Beim Wurzelziehen entstehen dann zwei Vorzeichen, und beim Teilen durch 2a brauchst du a \ne 0. So siehst du auch, warum die Diskriminante über die reellen Lösungen entscheidet: Sie steht unter der Wurzel.
Beispiel: Herleitung aus ax^2 + bx + c = 0
- 1Mit 4a multiplizieren: 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0
- 24ac abziehen und b^2 addieren: 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac
- 3Links steht ein binomisches Quadrat: (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac
- 4Wurzel ziehen, beide Vorzeichen: 2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac}
- 5b abziehen und durch 2a teilen: x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Teste dich
Alles auf einen Blick
Mitternachtsformel (abc-Formel)
Gleichung in der Form ax^2 + bx + c = 0 mit a \ne 0
a, b und c immer mit Vorzeichen ablesen
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, Plus- und Minusfall rechnen
D > 0 zwei, D = 0 eine, D < 0 keine reelle Lösung
die Lösungen sind die Nullstellen der Parabel
5x + 3x^2 - 7 = 2x^2 + 3x lösen
- 12x^2 + 3x abziehen und zusammenfassen: x^2 + 2x - 7 = 0
- 2a = 1, b = 2, c = -7
- 3D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 4 + 28 = 32
- 4x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2}
- 5Mit \sqrt{32} = 4\sqrt{2}: x_{1,2} = -1 \pm 2\sqrt{2}
- 6x_1 \approx 1{,}83 und x_2 \approx -3{,}83
- 7L = \{-1 - 2\sqrt{2}; -1 + 2\sqrt{2}\}
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Für -b wurde -10 eingesetzt statt -(-10) = 10. Richtig ist x_{1,2} = \frac{10 \pm 6}{4}, also x_1 = 4 und x_2 = 1.
Lückentext
In der Gleichung -x^2 + 4 = 0 ist a gleich , b gleich und c gleich .