Bruchgleichungen lösen mit Erklärung und Beispielen

21 November 2020
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Erklärung

Bruchgleichungen Definition

  • Eine Gleichung, bei der eine Variable $x$ im Nenner vorkommt, ohne dass man sie kürzen kann, heisst Bruchgleichung.
  • Für das Auflösen einer Bruchgleichung geht man wie folgt vor:
    1. Definitionsbereich $ \mathbb{D} $ bestimmen
    2. Zähler und Nenner faktorisieren, falls möglich
    3. kgv und damit Hauptnenner (HN) der vorkommenden Bruchterme bestimmen
    4. Beide Seiten mit HN multiplizieren, damit die Nenner wegfallen und die Brüche verschwinden
    5. Auflösen nach der Unbekannten (in der Regel: $x$)
    6. Lösung überprüfen, ob in $ \mathbb{D} $ enthalten
    7. Lösungsmenge $ \mathbb{L} $ aufschreiben

 

Bruchgleichungen Beispiele

Beispiel 1

$ \frac{x}{2x+3} = \frac{x-3}{2x-1} \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus\left\{-\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right\} \\ \\ \frac{x}{2x+3} =\frac{x-3}{2x-1} \qquad | \cdot (2x+3)(2x-1) $

$ x \cdot (2x -1) = (x-3) \cdot (2x+3) $

$ 2x^2 - x = 2x^2 +3x -6x -9 $

$ 2x = -9 $

$ x = -\frac{9}{2} \qquad \mathbb{L}=\left\{-\frac{9}{2} \right\}  $

Beispiel 2

$ \frac{4}{x^2-8x+16} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-4} \qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus\left\{0;4 \right\} $

$ \frac{4}{x^2-8x+16} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-4} \qquad | \cdot x(x-4)^2 $

$ 4x = x^2 - 8x + 16 - x^2 + 4x $ $ 8x &= 16 $

$ x = 2 \qquad \mathbb{L}=\left\{2 \right\} $

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