Kegel berechnen: Volumen, Oberfläche, Mantelfläche

Was ist ein Kegel? Kegel Eigenschaften
- Ein Kegel ist ein dreidimensionaler Körper. Er entsteht, wenn man alle Punkte eines Kreises mit einem Punkt außerhalb des Kreises verbindet (auch Kreiskegel genannt).
- Ein Kegel hat damit eine kreisförmige Grundfläche G.
- Die Mantelfläche M entspricht einem Kreisausschnitt, dass von der Grundfläche bis zur Spitze verläuft.
- Die Kegeloberfäche besteht aus 2 Flächen: Die Oberfläche O des Kegels setzt sich zusammen aus der Grundfläche und der Mantelfläche.
Kegel Aufgabe mit Lösung: Schokokegel
Dirk möchte seiner Nichte einen Schokokegel schenken. Dafür hat er einen Kegel gebaut, das er mit Schokolade füllen möchte.
Er nimmt sein Geodreieck und misst folgende Werte am Kegel:
Die Grundfläche hat einen Radius von $r=3cm$ und der Kegel ist $h=7cm$ hoch.
- Wie groß ist das Volumen des Schokokegels?
- Wie viel Geschenkpapier braucht er zum Verpacken?
Für das Volumen V eines Kegels gilt:
$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot h $
Wenn wir die Werte aus der Aufgabenstellung einsetzen, dann erhalten wir:
$ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 7 = 66cm^3$
Für die Gesamtfläche eines Kegels gilt: Kreisfläche + Mantelfläche
$O = G + M = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot s$
Für die Mantelfläche müssen wir zuerst die Mantellinie bestimmen:
$ s = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{9 + 49} = 7,6cm$
Jetzt haben wir alle Werte und können die Oberfläche des Kegels bestimmen:
$O = G + M = \pi \cdot 7^2 + \pi \cdot 3 \cdot 7,6 = 100,1cm^2$.
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