Asymptote bestimmen: senkrechte, waagrechte und schiefe Asymptote
Senkrechte Asymptote
Kommt eine Funktion $f$ einer senkrechten Geraden mit der Gleichung $x = x_0$ beliebig nahe ohne sie zu schneiden, dann nennt man diese Gerade eine senkrechte Asymptote der Funktion $f$.
Man sagt dann auch die Funktion hat für $x \rightarrow x_0$ keinen Grenzwert und schreibt $f(x) \rightarrow \infty$ (bzw. $f(x) \rightarrow -\infty$) für $x \rightarrow x_0$. Dabei wird $+$ bzw. $-$ verwendet, wenn die Funktion an der Asymptote nach oben bzw. unten wegstrebt, und beide Vorzeichen wenn sie auf einer Seite nach oben und auf der anderen Seite nach unten wegstrebt.
Besitzt eine gebrochenrationalen Funktion eine Stelle $x_0$, bei der der Nenner (aber nicht der Zähler) den Wert Null annimmt, dann besitzt sie an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = x_0$.
Logarithmusfunktionen der Form $f(x) = ln(g(x))$ haben an den Nullstellen von $g(x)$ senkrechte Asymptoten.
Beispiel 1
Beispiel 2
Waagrechte Asymptote
Eine Funktion $f$ hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y = y_0$, wenn die Funktionswerte von in positiver oder negativer Richtung anwachsenden $x$-Werten dem Wert $y_0$ beliebig nahe kommen. Man sagt dann, die Funktion hat den Grenzwert $y_0$ für $x \rightarrow +\infty $ (bzw. $x \rightarrow -\infty $). Schreibweisen sind: $$ f(x) \rightarrow y_0 \textrm{ für } x \rightarrow \pm \infty\textrm{ oder } \underset{x \rightarrow \pm \infty}{lim} f(x)=y_0 $$
Dabei wird $+$, bzw. $-$ verwendet, wenn der Grenzwert bei wachsenden, bzw. fallenden $x$-Werten angestrebt wird, und beide Vorzeichen werden genommen, wenn der Grenzwert für wachsende und fallende $x$-Werte gilt.
Der Grenzwert von konstanten Funktionen der Form $y = c$, also von waagrechten Geraden ist $c$. Außerdem gibt es noch zu sagen, dass eine Funktion, die die Summe aus mehreren Funktionen mit verschiedenen Grenzwerten ist, als Grenzwert die Summe der einzelnen Grenzwerte hat.
Beispiel 1: Exponentialfunktionen
Wir schauen uns jetzt das Grenzwertverhalten von verallgemeinerten Exponentialfunktionen an, das heißt von solchen Funktionen, bei denen außer dem Exponentialterm $e^{ax+b}$ noch ein anderer Term im Spiel ist. Diese Funktionen sollen die Form: $$ f(x) = g(x)e^{ax+b} $$
haben, wobei $g(x)$ für irgendeine ganzrationale Funktion stehen soll.
Funktionen dieser Form haben entweder für $x \rightarrow +\infty$ oder für $x \rightarrow -\infty$x den Grenzwert $0$, je nachdem ob $a \lt 0$ oder $a \gt 0$ ist. Das heißt, alle solche Funktionen haben die waagrechte Asymptote $y = 0$.
Zum Beispiel hat $f(x) = e^{2x+1}$ (mit $g(x) = 1$) den Grenzwert $0$ für $x \rightarrow +\infty$ und $f(x) = e^{4x-3}$ (auch mit g(x) = 1) hat den Grenzwert $0$ für $x \rightarrow -\infty$. Beide Funktionen besitzen eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y = 0, was übrigens die Gleichung der $x$-Achse ist.
$f(x) = 2-x^2e^{-x}$ hat als Grenzwert die Summe der Grenzwerte der konstanten Funktion $y = 2$ und der Funktion $y = -x^2e^{-x}$ (mit $g(x) = -x^2$). Es gilt also $f(x) \rightarrow 2 + 0 = 2$ für $x \rightarrow +\infty$ und damit existiert eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y = 2$. $f(x)=(2-3x)e^{2x}$ (mit $g(x)=2-3x$) hat den Grenzwert $0$ für $x \rightarrow -\infty$ und damit wieder die $x$-Achse mit der Gleichung $y = 0$ als waagrechte Asymptote.
Beispiel 2: Gebrochenrationale Funktionen
Ist bei einer gebrochenrationalen Funktion $f$ der Zählergrad (das ist die Hochzahl der größten im Zähler vorkommenden Potenz) kleiner als der Nennergrad, dann gilt $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm 1$, und $f$ hat die $x$-Achse mit der Gleichung $y = 0$ als waagrechte Asymptote. Sind Zählergrad und Nennergrad gleichgroß, wird die Funktion mit der höchsten Potenz von $x$ gekürzt und es gilt: $$ f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0}{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x^1+b_0} \\ = \frac{a_n+ \frac{a_{n-1}}{x} + ... + \frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n}}{b_n + \frac{b_{n_1}}{x}+...+\frac{b_1}{x^{n-1}}+\frac{b_0}{x^n}} \\ \rightarrow \frac{a_n}{b_n}\rightarrow \textrm{ für } x\rightarrow \pm \infty $$
da alle übrigen Terme gegen $0$ streben. $f$ hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y = \frac{a_n}{b_n}$, wobei $a_n$ und $b_n$ die beiden Faktoren vor den höchsten Potenzen im Zähler und im Nenner sind. Das war jetzt noch ein wenig allgemein, wir schauen uns jetzt deshalb drei konkrete Funktionen dazu an.
Da der Nennergrad der Funktion $f(x) = \frac{4x+5}{3x^2}$ größer als der Zählergrad ist $(2 > 1)$, gilt $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm \infty $, und die $x$-Achse mit der Gleichung $y = 0$ ist waagrechte Asymptote von $f$.
Der Grenzwert von $f(x)=2 + \frac{1}{x^2+1}$ ist die Summe der Grenzwerte der Funktionen $y= \frac{1}{x^2+1}$ und $y = 2$. Das heißt $f(x) \rightarrow 2 + 0$ für $ x \rightarrow \pm \infty $, da der Nennergrad von $\frac{1}{x^2+1}$ größer als der Zählergrad ist. Damit ist $y=2$ waagrechte Asymptote.
Beispiel 3: Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen haben nur eine waagrechte Asymptote, wenn es sich um konstante Funktionen der Form $y = c$ handelt.
Dann ist auch der Grenzwert $c$, und die Funktion ist identisch mit ihrer waagrechten Asymptote.
Schiefe Asymptote
Nähert sich eine Funktion einer (nicht waagrechten) Geraden immer mehr an, je größer x wird, dann nennt man diese Gerade eine schiefe Asymptote.
Gebrochenrationale Funktionen können schiefe Asymptoten haben, und zwar dann, wenn die höchste im Zähler vorkommende Potenz von x, also der Zählergrad, um eins größer ist als der Nennergrad.
Die Geradengleichung der Asymptote bekommst Du dann mit Hilfe einer Polynomdivision, indem Du die Zählerfunktion durch die Nennerfunktion dividierst. Der Ausdruck vor dem Restterm (falls es einen gibt) ergibt dann die Asymptotengleichung.
Beispiel 1
Um die schiefe Asymptote der Funktion $f(x) = \frac{3x^3 - x^2 + 10x -12}{x^2+2x}$ auszurechnen wird zuerst die folgende Polynomdivision durchgeführt: $$ (3x^3 - x^2 + 10x -12):(x^2+2x) = 3x -7 + \frac{24x-12}{x^2+2x} $$
Die Geradengleichung der schiefen Asymptote kannst Du jetzt aus dem Ausdruck im Ergebnis vor dem Restterm ablesen: $y = 3x-7$.
Beispiel 2
Hat die gebrochenrationale Funktion einen besonders einfach gebauten Nenner, nämlich nur eine einzige Potenz von $x$, dann kommst Du auch ohne die Polynomdivision klar. Du spaltest dann den Bruch in seine Einzelbestandteile auf und kürzt. Die Funktion: $$ f(x) =\frac{2x^3-5x^2+4}{2x^2} \\ = \frac{2x^3}{2x^2} - \frac{5x^2}{2x^2} + \frac{4}{2x^2} \\ = x - \frac{5}{2} + \frac{2}{x^2} $$
hat z.B. die Asymptote $y = x-\frac{5}{2}$.
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