Ebene durch drei Punkte

15 November 2020
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Erklärung

Die Ebene $E$, die durch drei vorgegebene Punkte $A, B$ und $C$ geht, hat die mögliche Parameterform: $$ E: \vec x = \vec a + s(\vec b - \vec a) + t(\vec c - \vec a) $$

Wie bei der Parameterform von Geraden kannst Du hier auch $ \vec b $ oder $ \vec c $ als Stützvektoren wählen und als Richtungsvektoren irgendwelche zwei Differenzen der drei Vektoren.

 

Beispiel

Aus den drei Punkten $A(1|0|1)$, $B(2|-1|1)$ und $C(-3|0|0)$ erhält man für $E$ beispielsweise die Parameterform:

$$ E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\end{Bmatrix} + t\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\end{Bmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$

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