Betrag einer Zahl: Abstand zur Null verstehen
Der Betrag gibt an, wie weit eine Zahl von der Null entfernt ist. Du lernst, Beträge zu bestimmen, in Termen zu rechnen und Abstände zu messen.
Kurz gesagt
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der Null auf dem Zahlenstrahl. Er ist nie negativ: |5| = 5, |-5| = 5 und |0| = 0. Steht ein Term zwischen den Betragsstrichen, rechnest du zuerst innen und bildest dann den Betrag.
Morgens zeigt das Thermometer -5 Grad, mittags 5 Grad. Beide Werte liegen gleich weit von der Null entfernt, nur auf verschiedenen Seiten. Genau diesen Abstand misst der Betrag einer Zahl. Deshalb ist ein Betrag nie negativ. Hier lernst du, Beträge zu bestimmen, mit ihnen in Termen zu rechnen und den Abstand zweier Zahlen zu finden.
Deine Lernziele
Stell dir den Zahlenstrahl vor: Die Zahl -5 liegt fünf Längeneinheiten links von 0, die Zahl 5 fünf Längeneinheiten rechts davon. Beide haben also denselben Abstand zur Null: |5| = 5 und |-5| = 5. Die Null hat von sich selbst keinen Abstand, also ist |0| = 0. 5 und -5 heißen Gegenzahlen. Allgemein ist -x die Gegenzahl von x. Nur 0 ist ihre eigene Gegenzahl. Zum Bestimmen fragst du dich immer: Wie weit liegt die Zahl von der Null entfernt? Eine positive Zahl bleibt unverändert: |8| = 8. Bei einer negativen Zahl ist der Betrag die Gegenzahl: |-8| = 8. Formal heißt das: Für x \ge 0 gilt |x| = x, für x < 0 gilt |x| = -x. Das zweite Minus bedeutet: Bilde die Gegenzahl. Mit x = -8 ist -x = -(-8) = 8.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von 0. Du schreibst die Zahl zwischen zwei senkrechte Striche: |x|.
Beispiel: |-12| bestimmen
- 1-12 liegt zwölf Längeneinheiten links von 0.
- 2Der Abstand zur Null ist also 12.
- 3|-12| = 12
Merke: Ein Betrag ist nichtnegativ. Er kann positiv oder null sein, aber niemals negativ.
Teste dich
Steht ein Term zwischen den Betragsstrichen, rechnest du zuerst innerhalb der Striche. Danach bildest du den Betrag. Rechnungen außerhalb der Striche kommen zuletzt. Bei verschachtelten Beträgen arbeitest du von innen nach außen.
Beispiel: |4 - 9| + 2 berechnen
- 1Innen rechnen: 4 - 9 = -5
- 2Betrag bilden: |-5| = 5
- 3Außen weiterrechnen: 5 + 2 = 7
- 4Also: |4 - 9| + 2 = 7
Merke: Betragsstriche wirken beim Rechnen ähnlich wie Klammern: Berechne zuerst ihren Inhalt und bilde anschließend dessen Betrag.
Teste dich
Der Betrag kann auch den Abstand zwischen zwei Zahlen angeben. Für zwei Zahlen a und b gilt: \text{Abstand} = |a - b| Die Reihenfolge spielt keine Rolle, weil die beiden möglichen Differenzen Gegenzahlen sind. So findest du zum Beispiel heraus, um wie viel Grad es wärmer geworden ist oder wie weit zwei Stockwerke über und unter der Erde auseinanderliegen.
Beispiel: Abstand zwischen -3 und 5
- 1Differenz bilden: 5 - (-3) = 8
- 2Betrag bilden: |8| = 8
- 3Andersherum: |-3 - 5| = |-8| = 8
- 4Die Zahlen liegen 8 Längeneinheiten auseinander.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Betrag einer Zahl
Der Betrag ist der Abstand einer Zahl von der Null
Ein Betrag ist positiv oder null, zum Beispiel |0| = 0
x und -x haben denselben Betrag
zwei Betragsstriche, zum Beispiel |-3| = 3
erst innen rechnen, dann den Betrag bilden
der Betrag ihrer Differenz, |a - b|
Temperaturunterschied von -8 Grad auf 6 Grad
- 1Gesucht ist der Abstand von -8 und 6.
- 2Differenz: 6 - (-8) = 14
- 3Betrag: |14| = 14
- 4Probe andersherum: |-8 - 6| = |-14| = 14
- 5Die Temperatur ist um 14 Grad gestiegen.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2In Zeile 2 wurden die Zahlen einzeln positiv gemacht. Zuerst wird innen gerechnet: -6 - 2 = -8, dann |-8| = 8. Das Ergebnis ist 8 + 3 = 11.
Lückentext
Der Betrag von -6 ist . Der Betrag von 0 ist . Die Zahlen 9 und -9 haben den Betrag.