Definitionsmenge und Wertemenge einfach erklärt
Die Definitionsmenge enthält die erlaubten Eingaben, die Wertemenge die erreichten Ausgaben. Du lernst, beide zu bestimmen und richtig zu notieren.
Kurz gesagt
Die Definitionsmenge D enthält alle Zahlen, die du für x einsetzen darfst. Die Wertemenge W enthält alle Werte f(x), die dabei wirklich herauskommen. Für f(x)=x^2 gilt zum Beispiel D=\mathbb R und W=[0;\infty[.
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten Eingaben einer Funktion. Die Wertemenge enthält alle Ausgaben, die daraus tatsächlich entstehen. Du fragst also zuerst: „Welche Zahlen darf ich für x einsetzen?“ Danach fragst du: „Welche Werte kann f(x) annehmen?“
Deine Lernziele
Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert x genau einen Ausgabewert y=f(x) zu. Die Definitionsmenge beschreibt die Eingabeseite, die Wertemenge die Ausgabeseite. Statt Wertemenge sagt man auch Wertebereich.
Definitionsmenge
Die Definitionsmenge D ist die Menge aller Zahlen, die du für x einsetzen darfst.
Wertemenge
Die Wertemenge W ist die Menge aller Werte y=f(x), die für zulässige Eingaben tatsächlich entstehen.
Beispiel: f(x)=2x mit D=\{1;2;3;4\}
- 1f(1)=2\cdot1=2
- 2f(2)=2\cdot2=4
- 3f(3)=2\cdot3=6
- 4f(4)=2\cdot4=8
- 5Also W=\{2;4;6;8\}
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Wenn keine Definitionsmenge vorgegeben ist, suchst du die größtmögliche Menge erlaubter Eingaben. Beginne mit den reellen Zahlen und schließe alle verbotenen Werte aus. Achte besonders auf drei Stellen: Bei einem Bruch darf der Nenner nicht 0 werden. Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen. Das Argument eines Logarithmus muss größer als 0 sein. Mit \mathbb R\setminus\{0\} schreibst du zum Beispiel: alle reellen Zahlen außer 0.
Beispiel: Zwei Definitionsmengen
- 1f(x)=2x-1: kein Nenner, keine Wurzel, also D=\mathbb R
- 2g(x)=\sqrt{x}: es muss x\geq0 gelten
- 3Also D=[0;\infty[\,=\mathbb R_0^+
- 4Die 0 ist erlaubt, denn \sqrt{0}=0
Merke: Bestimme die Definitionsmenge vor der Wertemenge. Verbotene Eingaben dürfen bei der Suche nach Ausgaben nicht verwendet werden.
Teste dich
Für die Wertemenge untersuchst du nur erlaubte Eingaben. Frage dann: Welche kleinsten oder größten Ausgaben gibt es, und welche sind unmöglich? Bei g(x)=x^3 mit D=\mathbb R entstehen alle reellen Zahlen, also W=\mathbb R. Typische Grenzen sind: Eine Quadratwurzel liefert keine negativen Werte. Sinus und Kosinus liefern nur Werte von -1 bis 1. Eine Exponentialfunktion mit positiver Basis liefert nur positive Werte. Bei einer Parabel in Scheitelpunktform f(x)=a(x-d)^2+e mit D=\mathbb R entscheidet das Vorzeichen von a: Bei a>0 ist sie nach oben geöffnet und W=[e;\infty[. Bei a<0 ist sie nach unten geöffnet und W=]-\infty;e]. Bei eingeschränkter Definitionsmenge können diese Wertemengen kleiner sein; prüfe dann nur die tatsächlich erlaubten Eingaben.
Beispiel: f(x)=x^2 mit D=\mathbb R
- 1Ein Quadrat ist nie negativ: x^2\geq0
- 2Der Wert 0 wird bei x=0 erreicht
- 3Jeder positive Wert kommt ebenfalls vor
- 4Also W=[0;\infty[\,=\mathbb R_0^+
Beispiel: Zwei Parabeln in Scheitelpunktform mit D=\mathbb R
- 1f(x)=3(x-2)^2+1: a=3>0, nach oben geöffnet
- 2Kleinster Wert 1 am Scheitelpunkt, also W=[1;\infty[
- 3g(x)=-2(x-5)^2+4: a=-2<0, nach unten geöffnet
- 4Größter Wert 4 am Scheitelpunkt, also W=]-\infty;4]
Teste dich
Einzelne Werte schreibst du mit geschweiften Klammern: W=\{1;2;3;4\}. Bei Intervallen zeigen die Klammern, ob die Randwerte dazugehören. [-5;6] enthält beide Randwerte. [2;9[ enthält 2, aber nicht 9. ]5;\infty[ enthält alle Zahlen größer als 5, aber nicht die 5. Von der Wertemenge unterscheidest du die Zielmenge: Sie wird vorgegeben und darf auch Werte enthalten, die nie erreicht werden. Für f(x)=x^2 kann die Zielmenge \mathbb R sein, die Wertemenge ist trotzdem [0;\infty[. Hat eine Funktion eine Umkehrfunktion, tauschen D und W ihre Rollen: Die Definitionsmenge der Funktion wird zur Wertemenge der Umkehrfunktion und umgekehrt.
Merke: Eine geschlossene Klammer steht an einem enthaltenen Randwert, eine offene an einem ausgeschlossenen. Bei \infty und -\infty ist die Klammer immer offen, weil Unendlich keine Zahl ist.
| Schreibweise | Bedeutung |
|---|---|
| \{1;2;3;4\} | genau diese vier Zahlen |
| [-5;6] | von -5 bis 6, beide Ränder enthalten |
| [2;9[ | von 2 bis 9, nur 2 enthalten |
| ]5;\infty[ | alle Zahlen größer als 5 |
| \mathbb R\setminus\{0\} | alle reellen Zahlen außer 0 |
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Alles auf einen Blick
Definitionsmenge und Wertemenge
alle erlaubten Eingaben für x
Nenner nicht null, unter der Wurzel nichts Negatives, Logarithmus nur für positive Zahlen
alle Ausgaben, die wirklich entstehen
Für D=\mathbb R legen Scheitelwert und Öffnungsrichtung die Wertemenge fest
geschweifte Klammern für Mengen, eckige für Intervalle
Definitions- und Wertemenge tauschen ihre Rollen
D und W von f(x)=\sqrt{x-3}+1 bestimmen
- 1Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen: x-3\geq0
- 2Also x\geq3 und D=[3;\infty[
- 3Die Wurzel liefert nur Werte ab 0: \sqrt{x-3}\geq0
- 4Deshalb gilt f(x)\geq1, und f(3)=\sqrt{0}+1=1 wird erreicht
- 5Also W=[1;\infty[
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Hier wurde eine Aussage über die Ausgabe x^2 als Verbot für die Eingabe x gelesen. Du darfst jede reelle Zahl einsetzen, richtig ist D=\mathbb R.
Lückentext
Die Definitionsmenge enthält alle erlaubten . An einem enthaltenen Randwert steht eine Klammer. Die Wertemenge von x^2 bei reellen Eingaben beginnt bei .