Funktionen verstehen: Term, Tabelle und Graph
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Du lernst, Funktionswerte zu berechnen und zwischen Term, Wertetabelle und Graph zu wechseln.
Kurz gesagt
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem zulässigen x wird genau ein y zugeordnet, der Funktionswert f(x). Bei f(x) = x^2 + 3 gehört zu x = 2 der Wert f(2) = 7, also der Punkt (2 \mid 7). Dieselbe Funktion kannst du als Term, Wertetabelle oder Graph darstellen.
Eine mathematische Funktion ordnet jedem zulässigen x-Wert genau einen y-Wert zu. Du kannst dieselbe Funktion als Vorschrift, Wertetabelle oder Graph darstellen.
Deine Lernziele
Stell dir eine Eingabe-Ausgabe-Maschine vor: Du gibst einen zulässigen Wert x ein und erhältst genau einen Wert y. x heißt unabhängige Variable, der Wert y = f(x) hängt von x ab. Wichtig ist die Richtung: Ein x darf nicht zwei verschiedene Funktionswerte haben. Umgekehrt dürfen zwei verschiedene x-Werte denselben Funktionswert haben. Bei f(x) = x^2 gilt f(-2) = 4 und f(2) = 4, trotzdem ist das eine Funktion. Ein Beispiel aus deiner Klasse: Jedem Schüler ist genau ein Geburtstag zugeordnet, das ist eine Funktion. Umgekehrt können an einem Tag mehrere Schüler Geburtstag haben.
Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem x aus dem Definitionsbereich wird genau ein y zugeordnet. Der zugehörige Wert heißt Funktionswert und wird als f(x) geschrieben.
Merke: Frag bei jeder Zuordnung: „Gibt es zu jedem zulässigen x genau ein y?“ Nur dann ist sie eine Funktion.
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Die Schreibweise f(x) = x^2 + 3 heißt Funktionsgleichung. Der Ausdruck x^2 + 3 ist der Funktionsterm. Dieselbe Zuordnung kannst du auch als x \rightarrow x^2 + 3 schreiben. Um einen Funktionswert zu berechnen, setzt du den gewählten x-Wert überall im Term ein. Negative Zahlen setzt du dabei in Klammern. Eingabe und Ergebnis bilden zusammen ein Wertepaar (x \mid f(x)).
Beispiel: f(x) = x^2 + 3 an der Stelle x = -2
- 1Einsetzen: f(-2) = (-2)^2 + 3
- 2Erst quadrieren: (-2)^2 = 4
- 3Dann addieren: f(-2) = 4 + 3 = 7
- 4Wertepaar: (-2 \mid 7), der Punkt P(-2 \mid 7) liegt auf dem Graphen.
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Eine Wertetabelle sammelt ausgewählte Eingaben und ihre Funktionswerte. Jede Spalte liefert ein Wertepaar, zum Beispiel (-2 \mid 7), (0 \mid 3), (1 \mid 4) und (2 \mid 7). Trägst du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein, siehst du Punkte des Funktionsgraphen. Der vollständige Graph besteht aus allen Punkten (x \mid f(x)). Beim Einzeichnen gehst du zuerst auf der x-Achse zur ersten Koordinate, dann parallel zur y-Achse zur zweiten. Liest du den Graphen von links nach rechts, wächst x. Werden die y-Werte dabei größer, steigt der Graph. Werden sie kleiner, fällt er. Bleiben sie gleich, verläuft er waagerecht. Ein Graph ist kein Foto eines Weges, sondern zeigt den Zusammenhang zweier Größen.
| x | −2 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = x^2 + 3 | 7 | 3 | 4 | 7 |
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Nicht jeder Term erlaubt jede reelle Zahl. Typische Prüfungen sind: Ein Nenner darf nicht 0 werden. Unter einer Quadratwurzel darf keine negative Zahl stehen, solange du mit reellen Zahlen rechnest. Bei f(x) = x^2 + 3 darf x jede reelle Zahl sein, also ist \mathbb{D}_f = \mathbb{R}. Weil ein Quadrat nie negativ ist, gilt stets x^2 + 3 \geq 3. Der kleinste Funktionswert ist 3, der Wertebereich besteht aus allen reellen Zahlen ab 3.
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich \mathbb{D}_f enthält alle Werte, die du für x einsetzen darfst.
Wertebereich
Der Wertebereich \mathbb{W}_f enthält alle Werte, die als y = f(x) tatsächlich herauskommen können.
Merke: Definitionsbereich: Was darf ich einsetzen? Wertebereich: Was kann als Ergebnis herauskommen?
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Alles auf einen Blick
Funktionen
jedem zulässigen x wird genau ein y zugeordnet
f(x) ist der Funktionswert an der Stelle x
Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph
immer (x \mid f(x)), zuerst die Eingabe
steigend, fallend oder waagerecht, von links nach rechts gelesen
Definitionsbereich für die Eingaben, Wertebereich für die Ergebnisse
Handytarif: f(x) = 2x + 5 (Kosten in € für x GB Daten)
- 1Zuordnung: Datenmenge in GB → Kosten in €
- 2f(0) = 2 \cdot 0 + 5 = 5
- 3f(1) = 2 \cdot 1 + 5 = 7
- 4f(3) = 2 \cdot 3 + 5 = 11
- 5Wertepaare: (0 \mid 5), (1 \mid 7), (3 \mid 11)
- 6Zu jeder Datenmenge gehört genau ein Preis, also ist das eine Funktion.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv: (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9. Also gilt f(-3) = 9 + 1 = 10, und das Wertepaar ist (-3 \mid 10).
Lückentext
Um f(1) für f(x) = x^2 + 3 zu berechnen, setzt du 1 für ein. Als Funktionswert erhältst du . Das Wertepaar lautet .