Funktionsgleichung aufstellen: Schritt für Schritt
Aus Punkten, einem Graphen oder einem Scheitel wird eine Gleichung. Du lernst, lineare und quadratische Funktionsgleichungen aufzustellen und zu prüfen.
Kurz gesagt
Eine Funktionsgleichung stellst du auf, indem du zuerst die passende Form wählst und dann ihre Unbekannten aus den Angaben berechnest. Eine Gerade f(x)=mx+t braucht zwei Angaben, etwa zwei Punkte. Eine Parabel f(x)=ax^2+bx+c braucht drei, bei bekanntem Scheitel reicht f(x)=a(x-d)^2+e und ein Punkt.
Eine Funktionsgleichung ist eine Rechenvorschrift, die jedem erlaubten x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Beim Aufstellen wählst du zuerst die passende Funktionsform. Danach bestimmst du ihre unbekannten Werte aus den gegebenen Informationen. Auf dieser Seite lernst du das für lineare und quadratische Funktionen. Am Ende kannst du dein Ergebnis mit einer Punktprobe kontrollieren.
Deine Lernziele
Bevor du rechnest, musst du erkennen, welche Art von Funktion gesucht ist. Die Form legt fest, welche Werte du bestimmen musst. Für jeden unbekannten Wert brauchst du eine unabhängige Angabe. Ein einzelner Punkt bestimmt eine Gerade deshalb nicht: Durch denselben Punkt verlaufen unendlich viele Geraden. Eine senkrechte Gerade wie x = 4 ist übrigens kein Funktionsgraph, denn zum selben x gehören dort viele y-Werte.
Lineare Funktion
Eine lineare Funktion hat die Form f(x) = mx + t. Ihr Graph ist eine nicht senkrechte Gerade. m ist die Steigung, t der y-Achsenabschnitt: Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 \mid t).
Quadratische Funktion
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x) = ax^2 + bx + c mit a \neq 0. Ihr Graph ist eine Parabel. Kennst du den Scheitel S(d \mid e), eignet sich die Scheitelpunktform f(x) = a(x - d)^2 + e.
| Form | Unbekannte | Nötige Angaben |
|---|---|---|
| f(x) = mx + t | m, t | zwei, z. B. zwei Punkte oder Steigung und Punkt |
| f(x) = ax^2 + bx + c | a, b, c | drei Punkte |
| f(x) = a(x - d)^2 + e | a (Scheitel bekannt) | Scheitel und ein weiterer Punkt |
Teste dich
Am Graphen liest du zuerst den y-Achsenabschnitt t ab. Die Steigung bestimmst du mit einem Steigungsdreieck: m = \frac{\Delta y}{\Delta x}. Dabei ist \Delta x die waagerechte und \Delta y die senkrechte Änderung. Gehst du nach rechts, ist \Delta x positiv. Führt der Weg dabei nach unten, ist \Delta y negativ und damit auch die Steigung. Sind statt des Graphen t und ein Punkt P(x_P \mid y_P) gegeben, setzt du den Punkt in y_P = m \cdot x_P + t ein und löst nach m auf.
Beispiel: Gerade am Graphen ablesen
- 1Schnitt mit der y-Achse bei −1, also t = -1
- 2Steigungsdreieck: 2 nach rechts, 1 nach oben
- 3m = \frac{1}{2} = 0{,}5
- 4Gleichung: f(x) = 0{,}5x - 1
Beispiel: Gerade mit t = 2 durch P(2 \mid 8)
- 1Punkt einsetzen: 8 = 2m + 2 \quad \mid -2
- 26 = 2m \quad \mid :2
- 3m = 3
- 4Gleichung: f(x) = 3x + 2
- 5Probe: f(2) = 3 \cdot 2 + 2 = 8
Merke: Lies t direkt auf der y-Achse ab. Berechne m als senkrechte Änderung geteilt durch waagerechte Änderung. Vertausche Zähler und Nenner nicht.
Teste dich
Sind zwei Punkte P(x_1 \mid y_1) und Q(x_2 \mid y_2) mit x_1 \neq x_2 gegeben, gehst du in zwei Schritten vor. Zuerst berechnest du die Steigung m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Nimm dabei in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte. Dann setzt du m und einen der Punkte in y = mx + t ein und bestimmst t. Eine negative x-Koordinate setzt du in Klammern ein. Zum Schluss machst du die Punktprobe: Setze die x-Koordinate jedes Punktes ein und vergleiche das Ergebnis mit seiner y-Koordinate. Sind beide gleich, liegt der Punkt auf dem Graphen.
Beispiel: Gerade durch P(-3 \mid 2) und Q(5 \mid 6)
- 1Steigung: m = \frac{6 - 2}{5 - (-3)} = \frac{4}{8} = 0{,}5
- 2P einsetzen: 2 = 0{,}5 \cdot (-3) + t
- 3Ausrechnen: 2 = -1{,}5 + t \quad \mid +1{,}5
- 4t = 3{,}5
- 5Gleichung: f(x) = 0{,}5x + 3{,}5
- 6Probe mit Q: f(5) = 0{,}5 \cdot 5 + 3{,}5 = 6
Teste dich
Bei einer Parabel hängt der Weg von den Angaben ab. Ein Scheitelpunkt führt zur Scheitelpunktform: Setze S(d \mid e) in f(x) = a(x - d)^2 + e ein und bestimme a mit einem weiteren Punkt. Achte auf das Vorzeichen: Bei S(1 \mid 4{,}5) steht in der Klammer x - 1. Drei Punkte ohne Scheitel führen zur allgemeinen Form f(x) = ax^2 + bx + c. Jeder Punkt liefert eine Gleichung, zusammen ergibt das ein Gleichungssystem für a, b und c. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Beispiel: Scheitel S(1 \mid 4{,}5) und Punkt P(4 \mid 0)
- 1Scheitel einsetzen: f(x) = a(x - 1)^2 + 4{,}5
- 2P einsetzen: 0 = a(4 - 1)^2 + 4{,}5
- 3Vereinfachen: 0 = 9a + 4{,}5 \quad \mid -4{,}5
- 4-4{,}5 = 9a \quad \mid :9
- 5a = -0{,}5
- 6Gleichung: f(x) = -0{,}5(x - 1)^2 + 4{,}5 = -0{,}5x^2 + x + 4
Beispiel: Parabel durch A(0 \mid 4), B(2 \mid -2) und C(7 \mid 0{,}5)
- 1Aus A: c = 4
- 2Aus B: -2 = 4a + 2b + 4, also b = -3 - 2a
- 3Aus C: 0{,}5 = 49a + 7(-3 - 2a) + 4
- 4Vereinfachen: 0{,}5 = 35a - 17, also a = 0{,}5 und b = -4
- 5Gleichung: f(x) = 0{,}5x^2 - 4x + 4
- 6Probe: f(0) = 4, f(2) = -2, f(7) = 0{,}5
Teste dich
Alles auf einen Blick
Funktionsgleichung aufstellen
Gerade f(x) = mx + t, Parabel f(x) = ax^2 + bx + c
zwei für eine Gerade, drei für eine Parabel
erst m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, dann t durch Einsetzen
f(x) = a(x - d)^2 + e, ein weiterer Punkt liefert a
jeden gegebenen Punkt einsetzen und vergleichen
Taxi: 4 km kosten 13 €, 10 km kosten 28 €
- 1Punkte: P(4 \mid 13) und Q(10 \mid 28)
- 2Steigung: m = \frac{28 - 13}{10 - 4} = \frac{15}{6} = 2{,}5
- 3P einsetzen: 13 = 2{,}5 \cdot 4 + t
- 413 = 10 + t, also t = 3
- 5Gleichung: f(x) = 2{,}5x + 3, also 3 € Grundpreis und 2,50 € pro km
- 6Probe mit Q: f(10) = 2{,}5 \cdot 10 + 3 = 28
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Bei S(3 \mid 1) ist d = 3, in der Klammer steht also x - 3: f(x) = a(x - 3)^2 + 1. Mit P folgt 9 = a(5 - 3)^2 + 1 = 4a + 1, also a = 2.
Lückentext
Bei f(x) = mx + t beschreibt die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Ein Punkt P(x_P \mid y_P) liegt auf dem Graphen, wenn gilt.