Integrationsregeln: Stammfunktionen sicher bilden
Integrationsregeln zeigen dir, wie du Stammfunktionen bildest, die passende Methode wählst und bestimmte Integrale sicher berechnest.
Kurz gesagt
Integrationsregeln sind die Regeln, mit denen du zu einer Funktion f eine Stammfunktion F mit F'=f findest. Die wichtigste ist die Potenzregel \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C für n\ne-1. Summen integrierst du gliedweise, ein bestimmtes Integral berechnest du mit F(b)-F(a).
Integrationsregeln helfen dir, zu einer gegebenen Funktion eine Stammfunktion zu finden. Dabei ist Integrieren die Umkehrung des Ableitens: Ist F'(x)=f(x), dann ist F eine Stammfunktion von f. Bei einem unbestimmten Integral gehört immer eine Integrationskonstante C dazu. Auf dieser Seite lernst du, Grundregeln auszuwählen, bestimmte Integrale zu berechnen und dein Ergebnis durch Ableiten zu kontrollieren.
Deine Lernziele
Warum ist C nötig? Beim Ableiten verschwindet jede Konstante. Deshalb haben zum Beispiel 3x^2, 3x^2+1 und 3x^2-3 alle dieselbe Ableitung 6x.
Stammfunktion
Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn F'(x)=f(x) gilt. Das unbestimmte Integral bezeichnet alle Stammfunktionen: \int f(x)\,dx=F(x)+C Die beliebige Zahl C heißt Integrationskonstante.
Beispiel: Das unbestimmte Integral von 6x
- 1\int 6x\,dx=3x^2+C
- 2Kontrolle: (3x^2+C)'=6x, denn C'=0
Merke: Beim unbestimmten Integral schreibst du +C. Durch Ableiten erkennst du, ob deine Stammfunktion zum Integranden passt.
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Bei Polynomen zerlegst du den Integranden in einzelne Terme. Konstanten darfst du vor das Integral ziehen. Potenzregel: Für n\ne-1 gilt: \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten. Für n=-1 wäre der Nenner 0; deshalb gilt diese Regel nicht für 1/x. Faktor-, Summen- und Differenzregel: \int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx Bei einer Differenz integrierst du ebenfalls gliedweise und behältst das Minuszeichen bei. Auch bekannte Grundstammfunktionen lassen sich mit der Faktorregel verbinden: \int 2\cos(x)\,dx=2\sin(x)+C
Beispiel: \int(3x^2-4x^3)\,dx berechnen
- 1Differenz gliedweise integrieren, die Faktoren bleiben stehen
- 2\int(3x^2-4x^3)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}-4\cdot\frac{x^4}{4}+C
- 3=x^3-x^4+C
- 4Kontrolle: (x^3-x^4+C)'=3x^2-4x^3
Merke: Potenzregel: Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Sie gilt nur für n\ne-1.
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Nicht jeder Integrand ist eine Summe von Potenzen. Die Struktur zeigt dir, welche Methode du prüfen solltest. Bei der Substitution treten eine innere Funktion und ihre Ableitung gemeinsam auf. Die partielle Integration hilft bei einem Produkt, das einfacher wird, wenn du einen Faktor ableitest und den anderen integrierst. Die logarithmische Integration passt zu einem Bruch der Form f'(x)/f(x). Beispiel: Da (x^3-x^4)'=3x^2-4x^3 ist, gilt dort, wo der Nenner nicht null ist, \int\frac{3x^2-4x^3}{x^3-x^4}\,dx=\ln|x^3-x^4|+C.
| Methode | Erkennungszeichen | Regel |
|---|---|---|
| Substitution | innere Funktion und ihre Ableitung als Faktor | \int f(g(x))\,g'(x)\,dx mit u=g(x), du=g'(x)\,dx |
| Partielle Integration | Produkt, das durch Ableiten eines Faktors einfacher wird | \int f\,g'\,dx=f\,g-\int f'\,g\,dx |
| Logarithmische Integration | Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist | \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C |
Beispiel: Substitution: \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx
- 1Setze u=x^3+2, dann ist du=3x^2\,dx
- 2\int u^4\,du=\frac15u^5+C
- 3Rücksubstitution: \frac15(x^3+2)^5+C
- 4Kontrolle: Die Ableitung ist 3x^2(x^3+2)^4
Beispiel: Partielle Integration: \int (x+1)e^x\,dx
- 1Wähle f(x)=x+1 und g'(x)=e^x
- 2Dann ist f'(x)=1 und g(x)=e^x
- 3\int (x+1)e^x\,dx=(x+1)e^x-\int e^x\,dx
- 4=(x+1)e^x-e^x+C=xe^x+C
- 5Kontrolle: (xe^x)'=e^x+xe^x=(x+1)e^x
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Ein bestimmtes Integral hat Grenzen und ergibt eine Zahl. Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt der Hauptsatz: \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Du setzt zuerst die obere, dann die untere Grenze in dieselbe Stammfunktion ein. Ein +C hebt sich bei der Subtraktion auf. Für Integrationsgrenzen gelten drei wichtige Regeln: \int_a^a f(x)\,dx=0 \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx Ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Flächenbilanz. Bereiche oberhalb der x-Achse zählen positiv, Bereiche darunter negativ. Für einen geometrischen Gesamtflächeninhalt musst du an Nullstellen aufteilen und die Beträge der Teilintegrale addieren. Prüfe am Ende immer: Passt die Methode zur Struktur? Gilt die Bedingung, etwa n\ne-1 oder ein Nenner ungleich null? Steht beim unbestimmten Integral +C? Und ergibt die Ableitung deiner Stammfunktion wieder den Integranden?
Beispiel: \int_0^2(3x^2-2x)\,dx berechnen
- 1Stammfunktion: F(x)=x^3-x^2
- 2F(2)=8-4=4
- 3F(0)=0-0=0
- 4\int_0^2(3x^2-2x)\,dx=F(2)-F(0)=4-0=4
Merke: Bestimmtes Integral: erst eine Stammfunktion F, dann obere minus untere Grenze: F(b)-F(a). Kontrolle immer durch Ableiten.
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Alles auf einen Blick
Integrationsregeln
Stammfunktionsfamilie F+C; Kontrolle durch Ableiten
Potenz-, Faktor-, Summen- und Differenzregel
Substitution bei innerer Funktion mit Ableitung; Partielle Integration bei geeignetem Produkt; Logarithmus bei f'/f
Hauptsatz F(b)-F(a); Grenzen und Teilintervalle beachten
\int_1^2(4x^3-2x+1)\,dx berechnen
- 1Gliedweise integrieren: F(x)=x^4-x^2+x
- 2Kontrolle: F'(x)=4x^3-2x+1
- 3F(2)=16-4+2=14
- 4F(1)=1-1+1=1
- 5\int_1^2(4x^3-2x+1)\,dx=F(2)-F(1)=14-1=13
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Bei x^3 fehlt das Teilen durch den neuen Exponenten 4. Richtig ist F(x)=\frac{x^4}{4}+3x. Dann ist F(2)=4+6=10, und das Integral hat den Wert 10.
Lückentext
Beim Integrieren von x^3 wird der neue Exponent zu . Daher ist eine Stammfunktion . Bei einem unbestimmten Integral ergänzt du .