Kathete und Hypotenuse erkennen und berechnen
Du lernst, Katheten und Hypotenuse am rechten Winkel zu erkennen und fehlende Seiten mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen.
Kurz gesagt
Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck die Seite gegenüber dem rechten Winkel und zugleich die längste Seite. Die Katheten sind die beiden Seiten am rechten Winkel. Nach dem Satz des Pythagoras gilt Kathete² + Kathete² = Hypotenuse², zum Beispiel 9^2+12^2=15^2.
In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten treffen sich am rechten Winkel. Diese Lage entscheidet auch darüber, ob du beim Satz des Pythagoras addierst oder subtrahierst.
Deine Lernziele
Suche zuerst den Winkel von 90^\circ. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse. Sie ist im rechtwinkligen Dreieck zugleich die längste Seite. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Die Buchstaben der Seiten können wechseln. Liegt zum Beispiel x gegenüber dem rechten Winkel, gilt: y^2+z^2=x^2 Eine Skizze hilft beim Zuordnen. Miss daran aber keine Längen ab, wenn sie nicht maßstabsgerecht gezeichnet ist.
Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. In der Gleichung des Satzes von Pythagoras steht ihr Quadrat allein.
Katheten
Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Ihre Quadrate werden in der Grundformel addiert.
Merke: Verlasse dich nicht auf Buchstaben oder die Lage auf dem Blatt: Gegenüber von 90^\circ liegt die Hypotenuse.
Teste dich
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke: \text{Kathete}^2+\text{Kathete}^2=\text{Hypotenuse}^2 Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate und ziehst anschließend die Quadratwurzel: c=\sqrt{a^2+b^2} Beim Quadrieren wird aus einer Längeneinheit eine Flächeneinheit: (9\,\mathrm{cm})^2=81\,\mathrm{cm}^2. Durch das Wurzelziehen erhältst du wieder eine Länge. Berechne nicht (9+12)^2. Der Satz verlangt 9^2+12^2: Erst wird jede Kathete einzeln quadriert, dann werden die Ergebnisse addiert.
Beispiel: Hypotenuse aus a=9\,\mathrm{cm} und b=12\,\mathrm{cm}
- 1c^2=(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2
- 2c^2=81\,\mathrm{cm}^2+144\,\mathrm{cm}^2=225\,\mathrm{cm}^2
- 3c=\sqrt{225\,\mathrm{cm}^2}=15\,\mathrm{cm}
- 4Probe: 15\,\mathrm{cm} ist länger als beide Katheten
Teste dich
Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat ab. Danach ziehst du die Quadratwurzel: \text{gesuchte Kathete}=\sqrt{\text{Hypotenuse}^2-\text{bekannte Kathete}^2}
Beispiel: Kathete a aus c=41\,\mathrm{cm} und b=40\,\mathrm{cm}
- 1a^2+b^2=c^2
- 2a^2+(40\,\mathrm{cm})^2=(41\,\mathrm{cm})^2
- 3a^2=1681\,\mathrm{cm}^2-1600\,\mathrm{cm}^2=81\,\mathrm{cm}^2
- 4a=\sqrt{81\,\mathrm{cm}^2}=9\,\mathrm{cm}
- 5Probe: 9\,\mathrm{cm} ist kürzer als die Hypotenuse
Merke: Gesuchte Hypotenuse: Quadrate addieren. Gesuchte Kathete: vom Hypotenusenquadrat subtrahieren. Am Ende immer die Quadratwurzel ziehen.
Teste dich
Bei einer Sachaufgabe rechnest du nicht sofort. Übersetze zuerst die Situation: Finde zwei Strecken, die einen rechten Winkel bilden. Bestimme die Seite gegenüber diesem Winkel als Hypotenuse. Markiere die gesuchte Seite. Entscheide zwischen Addition und Subtraktion. Rechne und prüfe Einheit sowie Plausibilität.
Beispiel: Wie weit steht die Leiter von der Wand weg?
- 1Leiter: 6{,}50\,\mathrm{m}, erreichte Höhe: 4{,}80\,\mathrm{m}, gesucht: Abstand a
- 2Wand und Boden bilden den rechten Winkel, die Leiter ist die Hypotenuse
- 3a^2=(6{,}50\,\mathrm{m})^2-(4{,}80\,\mathrm{m})^2
- 4a^2=42{,}25\,\mathrm{m}^2-23{,}04\,\mathrm{m}^2=19{,}21\,\mathrm{m}^2
- 5a=\sqrt{19{,}21\,\mathrm{m}^2}\approx4{,}38\,\mathrm{m}
- 6Probe: 4{,}38\,\mathrm{m} ist kürzer als die Leiter
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kathete und Hypotenuse
bestimmt die Seitenrollen
liegt gegenüber und ihr Quadrat steht allein
treffen sich am rechten Winkel
Quadrate addieren, dann Wurzel
Quadrate subtrahieren, dann Wurzel
Einheit und Seitenlängen vergleichen
Diagonale über eine Rasenfläche von 12\,\mathrm{m} mal 16\,\mathrm{m}
- 1Länge und Breite bilden den rechten Winkel: Katheten 12\,\mathrm{m} und 16\,\mathrm{m}
- 2Der diagonale Weg liegt gegenüber: Hypotenuse d
- 3d^2=(12\,\mathrm{m})^2+(16\,\mathrm{m})^2=144\,\mathrm{m}^2+256\,\mathrm{m}^2=400\,\mathrm{m}^2
- 4d=\sqrt{400\,\mathrm{m}^2}=20\,\mathrm{m}
- 5Probe: 20\,\mathrm{m} ist länger als beide Katheten
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Gesucht ist eine Kathete, also wird subtrahiert: h^2=(5\,\mathrm{m})^2-(1{,}4\,\mathrm{m})^2=23{,}04\,\mathrm{m}^2 und h=4{,}8\,\mathrm{m}. Die Höhe muss kürzer sein als die Leiter.
Lückentext
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel . Ist die Hypotenuse gesucht, werden die Kathetenquadrate . Ist eine Kathete gesucht, ziehst du das bekannte Kathetenquadrat vom ab.