Pythagoras-Rechner: Fehlende Seite berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du die fehlende Seite im rechtwinkligen Dreieck. Du lernst, die passende Formel zu wählen.
Kurz gesagt
Ein Pythagoras-Rechner bestimmt aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte. Sind beide Katheten bekannt, gilt c=\sqrt{a^2+b^2}, zum Beispiel \sqrt{5^2+3^2}\approx5{,}83. Ist die Hypotenuse bekannt, ziehst du ab: a=\sqrt{c^2-b^2}.
Kennst du in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten, kannst du die dritte mit a^2+b^2=c^2 berechnen. Entscheidend ist zuerst: Suchst du die Hypotenuse oder eine Kathete? Danach setzt du ein, ziehst die Quadratwurzel und prüfst dein Ergebnis.
Deine Lernziele
Der Satz des Pythagoras gilt in dieser Form nur für ein rechtwinkliges Dreieck, also für ein Dreieck mit einem Winkel von 90^\circ. Liegt der rechte Winkel bei C, dann ist c die Hypotenuse. Die Seiten a und b sind die Katheten. Für genau diese Zuordnung gilt: a^2+b^2=c^2 Die Quadrate a^2 und b^2 kannst du auch als Flächen der Quadrate über den Katheten verstehen. Zusammen sind sie so groß wie das Quadrat c^2 über der Hypotenuse.
Hypotenuse und Katheten
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten.
Merke: Der Buchstabe c ist nicht automatisch die Hypotenuse. Er ist es hier, weil der rechte Winkel bei C liegt. Suche immer zuerst die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Teste dich
Ein Pythagoras-Rechner braucht zwei bekannte Seiten. Welche Umformung du verwendest, hängt von der gesuchten Seite ab. Markiere zuerst den rechten Winkel und bestimme die Hypotenuse. Prüfe dann, welche zwei Seiten bekannt sind, und wähle die passende Formel. Setze alle Werte in derselben Längeneinheit ein. Ziehe am Ende die positive Quadratwurzel, weil eine Seitenlänge nicht negativ ist. Sind beide Katheten gegeben, addierst du ihre Quadrate.
| Gesucht | Formel |
|---|---|
| Hypotenuse c | c=\sqrt{a^2+b^2} |
| Kathete a | a=\sqrt{c^2-b^2} |
| Kathete b | b=\sqrt{c^2-a^2} |
Beispiel: Gegeben: a=5\,\text{cm} und b=3\,\text{cm}. Gesucht: c
- 1c=\sqrt{a^2+b^2}
- 2c=\sqrt{5^2+3^2}\,\text{cm}=\sqrt{25+9}\,\text{cm}
- 3c=\sqrt{34}\,\text{cm}\approx5{,}83\,\text{cm}
- 4Plausibel: Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete.
Teste dich
Gegeben sind die Hypotenuse und eine Kathete. Dann stellst du die Grundformel um: Du ziehst das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat ab.
Beispiel: Gegeben: b=16\,\text{cm} und c=34\,\text{cm}. Gesucht: a
- 1a=\sqrt{c^2-b^2}
- 2a=\sqrt{34^2-16^2}\,\text{cm}=\sqrt{1156-256}\,\text{cm}
- 3a=\sqrt{900}\,\text{cm}=30\,\text{cm}
- 4Plausibel: 30\,\text{cm} ist kürzer als die Hypotenuse.
Merke: Bei einer fehlenden Kathete steht unter der Wurzel immer Hypotenusenquadrat minus Kathetenquadrat. Die Hypotenuse liefert als längste Seite das größere Quadrat.
Teste dich
Eine Rechteckdiagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Rechteckseiten sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse. Nicht jede Wurzel ergibt eine ganze Zahl. Runde dann erst das Endergebnis, damit gerundete Zwischenwerte den Schlusswert nicht verfälschen. Prüfe vor dem Bestätigen deiner Eingabe die vier Punkte in der Tabelle.
Beispiel: Diagonale eines Rechtecks mit 45\,\text{cm} und 60\,\text{cm}
- 1d=\sqrt{45^2+60^2}\,\text{cm}
- 2d=\sqrt{2025+3600}\,\text{cm}=\sqrt{5625}\,\text{cm}=75\,\text{cm}
- 3Plausibel: Die Diagonale ist länger als beide Rechteckseiten.
| Prüfpunkt | Worauf du achtest |
|---|---|
| Rechter Winkel | Ohne rechten Winkel gilt die Formel in dieser Form nicht. |
| Seitenrolle | Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. |
| Wurzel | a^2+b^2 ist erst das Quadrat der gesuchten Länge. |
| Einheit | Aus \text{cm}^2 wird nach dem Wurzelziehen wieder \text{cm}. |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Pythagoras-Rechner
gilt nur im rechtwinkligen Dreieck
zuerst Hypotenuse und Katheten bestimmen
Kathetenquadrate addieren
Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat abziehen
die positive Quadratwurzel liefert die Seitenlänge
Einheit und Plausibilität prüfen
Ein Drachen hängt an einer straff gespannten, 50\,\text{m} langen Schnur. Er steht 30\,\text{m} waagerecht von dir entfernt. Wie hoch fliegt er?
- 1Die Schnur ist die Hypotenuse: c=50\,\text{m}. Der waagerechte Abstand ist die Kathete b=30\,\text{m}.
- 2Gesucht ist die Kathete a=\sqrt{c^2-b^2}.
- 3a=\sqrt{50^2-30^2}\,\text{m}=\sqrt{2500-900}\,\text{m}
- 4a=\sqrt{1600}\,\text{m}=40\,\text{m}
- 5Kontrolle: 40\,\text{m} ist kürzer als die Schnur. Das passt. (Die Höhe deiner Hand ist hier nicht mitgerechnet.)
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Gesucht ist eine Kathete, deshalb wird subtrahiert: b^2=25^2-7^2=576, also b=24\,\text{cm}. Eine Kathete muss kürzer sein als die Hypotenuse.
Lückentext
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel . Suchst du die Hypotenuse, werden die Kathetenquadrate . Suchst du eine Kathete, wird ihr bekanntes Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat .