Kehrwert verstehen und sicher berechnen
Der Kehrwert einer Zahl ergibt mit ihr multipliziert 1. Du lernst, ihn zu bilden, warum 0 keinen hat und wie er beim Teilen durch Brüche hilft.
Kurz gesagt
Der Kehrwert einer Zahl ist die Zahl, mit der du sie malnehmen musst, um 1 zu erhalten. Bei einem Bruch vertauschst du Zähler und Nenner: Der Kehrwert von \frac{3}{5} ist \frac{5}{3}, der Kehrwert von 4 ist \frac14. Die Zahl 0 hat keinen Kehrwert.
Der Kehrwert einer Zahl ist die Zahl, mit der du multiplizieren musst, um 1 zu erhalten. Bei einem Bruch vertauschst du dafür Zähler und Nenner. Auf dieser Seite lernst du nicht nur die Regel, sondern auch, warum sie funktioniert, wie du dein Ergebnis prüfst und wie der Kehrwert beim Teilen durch Brüche hilft.
Deine Lernziele
Welche Zahl passt zu \frac{3}{5}, sodass das Produkt 1 wird? Es ist \frac{5}{3}, denn \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=\frac{15}{15}=1. Der Kehrwert wird auch Kehrbruch genannt. Und die Null? Jede Zahl mal 0 ergibt 0, niemals 1. Es gibt also keine Zahl, die mit 0 malgenommen 1 ergibt, und deshalb hat 0 keinen Kehrwert. Das passt dazu, dass man durch 0 nicht teilen kann. Bei \frac05 würde bloßes Vertauschen zu \frac50 führen, also zu einer Division durch 0. Das zeigt, warum „einfach umdrehen“ ohne Nullprüfung keine vollständige Regel ist.
Kehrwert
Der Kehrwert einer Zahl (außer 0) ist die Zahl, mit der du sie malnehmen musst, um 1 zu erhalten. Bei einem Bruch vertauschst du Zähler und Nenner, sofern der Zähler nicht 0 ist. Zahl und Kehrwert ergeben miteinander multipliziert 1.
Merke: Nur von einer Zahl ungleich 0 darfst du den Kehrwert bilden. Ein Bruch mit Zähler 0 hat daher keinen Kehrwert.
Teste dich
Schreibe die Zahl zuerst als Bruch. Dann vertauschst du Zähler und Nenner. Für leichte Zahlen rechnest du im Kopf: 5=\frac51, also ist der Kehrwert \frac15. Bei einer Dezimalzahl hilft oft das Umwandeln in einen gekürzten Bruch. So wird aus 0{,}125=\frac18 sofort der Kehrwert 8. Eine gemischte Zahl schreibst du vorher als unechten Bruch. Die Zahl 1 ist ihr eigener Kehrwert, denn 1\cdot1=1. Prüfe dein Ergebnis mit der Produktprobe: Ausgangszahl mal Kehrwert muss 1 ergeben.
Beispiel: Kehrwerte in verschiedenen Darstellungen
- 1Bruch: \frac{2}{7}\longrightarrow\frac{7}{2}, Probe: \frac27\cdot\frac72=1
- 2Ganze Zahl: 8=\frac81\longrightarrow\frac18
- 3Gemischte Zahl: 2\frac13=\frac73\longrightarrow\frac37
- 4Dezimalzahl: 0{,}4=\frac25\longrightarrow\frac52=2{,}5
Beispiel: Stimmt der Kehrwert von 3\frac12?
- 1Jemand behauptet: „Der Kehrwert von 3\frac12 ist 3\frac21.“
- 2Umwandeln: 3\frac12=\frac72
- 3Richtig ist \frac27, die Behauptung ist falsch.
- 4Probe: \frac72\cdot\frac27=1
Teste dich
Warum gilt „Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert malnehmen“? Teilen fragt: Wie oft passt der Divisor hinein? Bei 2:\frac13 fragst du, wie oft ein Drittel in 2 Ganze passt. In jedes Ganze passen 3 Drittel, in 2 Ganze also 2\cdot3=6. Du hast mit 3 malgenommen, dem Kehrwert von \frac13. Bei 2:\frac23 sind die Stücke doppelt so groß und passen nur halb so oft hinein: 3-mal. Genau das liefert der Kehrwert: 2\cdot\frac32=3.
Deshalb gilt für jeden Bruch als Divisor (außer 0): Der erste Bruch bleibt stehen, der Divisor wird durch seinen Kehrwert ersetzt, und aus : wird ·. Mit der Probe prüfst du: Ergebnis mal Divisor muss den Dividenden ergeben.
Beispiel: Berechne \frac78:\frac{7}{12}.
- 1Der Divisor \frac{7}{12} ist nicht 0 und hat den Kehrwert \frac{12}{7}.
- 2Ersetze die Division: \frac78\cdot\frac{12}{7}.
- 3Kürze vor dem Multiplizieren: \frac78\cdot\frac{12}{7}=\frac32.
- 4Probe: \frac32\cdot\frac{7}{12}=\frac78. Das Produkt aus Quotient und Divisor ergibt den Dividend.
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In höheren Klassen bildest du den Kehrwert nicht nur von einer Zahl, sondern von allen Ergebnissen einer Rechenvorschrift, einer Funktion. Das Ergebnis heißt reziproke Funktion, denn „reziprok“ ist ein anderes Wort für Kehrwert. Wie bei einzelnen Zahlen gilt dort: Wo ein Ergebnis 0 ist, gibt es keinen Kehrwert, und diese Stelle heißt Definitionslücke. Mehr dazu zeigt dir später die Seite Gebrochen-rationale Funktionen.
| Zahl | Kehrwert |
|---|---|
| \frac12 | 2 |
| 1 | 1 |
| 2 | \frac12 |
| 5 | \frac15 |
| 0 | keiner |
Teste dich
Alles auf einen Blick
Kehrwert
die Zahl, die mit der Ausgangszahl malgenommen 1 ergibt
als Bruch schreiben, Zähler und Nenner vertauschen, mit der Produktprobe prüfen
0 besitzt keinen Kehrwert
Zahlen über 1 haben Kehrwerte unter 1, und umgekehrt
mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren
Wie viele Stücke ergibt eine Leiste?
- 1Eine Leiste mit 1\frac12 Metern Länge wird in Stücke zu je \frac{3}{10} Meter zersägt.
- 2Umwandeln: 1\frac12 = \frac32
- 3Kehrwert des Divisors: \frac{3}{10} \longrightarrow \frac{10}{3}
- 4\frac32 \cdot \frac{10}{3} = \frac{30}{6} = 5
- 5Probe: 5 \cdot \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac32. Die Leiste ergibt 5 Stücke.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Hier wurde auch der erste Bruch umgedreht. Er bleibt stehen: \frac45 : \frac37 = \frac45 \cdot \frac73 = \frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}.
Lückentext
Der Kehrwert von 6 ist . Der Kehrwert von \frac35 ist . Vor dem Umdrehen wird 1\frac12 zu .