Bruchrechnung: Regeln, Beispiele und Übungen
Brüche beschreiben Anteile. Du lernst, sie zu kürzen, zu erweitern und mit ihnen in allen vier Rechenarten zu rechnen.
Kurz gesagt
Ein Bruch wie 58 beschreibt einen Anteil: Der Nenner 8 sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist, der Zähler 5, wie viele davon gemeint sind. Plus und Minus gehen nur mit gemeinsamem Nenner. Beim Malnehmen rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner, beim Teilen mit dem Kehrwert.
Eine Pizza, acht Stücke, drei sind schon weg: Wie viel ist noch übrig? Genau dafür gibt es Brüche. Hier lernst du, was Zähler und Nenner bedeuten und welche Regel du bei Plus, Minus, Mal und Geteilt brauchst.
Deine Lernziele
Ein Bruch beschreibt einen Anteil von einem Ganzen. Der Nenner unten sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Der Zähler oben sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind. Sind Zähler und Nenner gleich, ist der Bruch genau 1, zum Beispiel 88 = 1. Ist der Zähler größer als der Nenner, ist der Bruch größer als 1.
Bruch
Ein Bruch ab besteht aus dem Zähler a über dem Bruchstrich und dem Nenner b unter dem Bruchstrich. Der Nenner ist nie 0.
Beispiel: 94 als gemischte Zahl schreiben
- 19 : 4 = 2 Rest 1
- 2Also passen 2 Ganze hinein, 1 Viertel bleibt übrig.
- 394 = 2 14
- 4Zurück: 2 · 4 + 1 = 9, also 2 14 = 94
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Beim Erweitern und Kürzen änderst du nur, wie der Bruch aussieht, nicht wie viel er wert ist. Erweitern macht die Stücke kleiner, dafür nimmst du mehr davon. Kürzen fasst Stücke zu größeren zusammen. Vollständig gekürzt ist ein Bruch, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr außer 1 haben. Prüfe deshalb nach jedem Kürzen, ob noch ein Teiler passt.
Beispiel: Erweitern und Kürzen
- 1Erweitern mit 2: 37 = 614
- 2Kürzen mit 6 (größter gemeinsamer Teiler): 1218 = 23
Merke: Multipliziere oder teile immer Zähler und Nenner mit derselben Zahl. Nie nur oben oder nur unten.
Teste dich
Du kannst nur gleich große Stücke zusammenzählen. Deshalb bringst du die Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Dann rechnest du nur mit den Zählern, der Nenner bleibt stehen. Zum Schluss kürzt du, wenn es geht.
Beispiel: 34 − 16 berechnen
- 1Gemeinsamer Nenner: 12
- 234 = 912 und 16 = 212
- 3912 − 212 = 712
Merke: Erst gemeinsamer Nenner, dann nur die Zähler verrechnen, zum Schluss kürzen.
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Beim Multiplizieren brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Du rechnest Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Dividieren drehst du den zweiten Bruch um und multiplizierst dann. Diesen umgedrehten Bruch nennt man Kehrwert. Kürzt du schon vor dem Ausrechnen über Kreuz, bleiben die Zahlen klein.
| Rechenart | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Mal | Zähler · Zähler, Nenner · Nenner | 12 · 34 = 38 |
| Geteilt | mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs malnehmen | 12 : 34 = 12 · 43 = 23 |
Beispiel: 37 : 2714 mit Kürzen über Kreuz
- 137 : 2714 = 37 · 1427
- 2Über Kreuz kürzen: 3 und 27 durch 3, 7 und 14 durch 7
- 311 · 29 = 29
Merke: Nur bei der Division wird ein Bruch umgedreht, und zwar immer der zweite.
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Alles auf einen Blick
Bruchrechnung
Zähler und Nenner beschreiben Anteile
Wert bleibt gleich
erst gemeinsamen Nenner bilden
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
mit dem Kehrwert multiplizieren
Ergebnis vollständig kürzen
23 + 34 berechnen
- 1Die Nenner sind verschieden. Gemeinsamer Nenner: 12
- 223 = 812 und 34 = 912
- 3812 + 912 = 1712
- 41712 lässt sich nicht kürzen. Als gemischte Zahl: 1 512
Fehler finden
Fehler in Zeile 4Der Nenner wurde mitaddiert. Bei gleichnamigen Brüchen addierst du nur die Zähler, der Nenner bleibt stehen: 412 + 312 = 712.
Lückentext
Zum Addieren brauchst du einen Nenner. Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl . Beim Dividieren nimmst du den Kehrwert des Bruchs.