Brüche multiplizieren: Regeln und Übungen
Brüche multiplizierst du ohne gemeinsamen Nenner: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Du lernst, warum das so ist und wie du geschickt vorher kürzt.
Kurz gesagt
Zwei Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest: 23 · 46 = 818 = 49. Einen gemeinsamen Nenner brauchst du dafür nicht. Eine ganze Zahl schreibst du als Bruch mit dem Nenner 1.
Im Kühlschrank liegt noch ein Drittel Kuchen, und du isst die Hälfte davon. Wie viel vom ganzen Kuchen war das? Die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel. Hier lernst du, warum ein Bruchprodukt ein Anteil von einem Anteil ist, wie du Brüche und ganze Zahlen multiplizierst und wie du geschickt kürzt, damit die Zahlen klein bleiben.
Deine Lernziele
Stell dir ein Rechteck als Ganzes vor. Teile es in drei gleich große Streifen und markiere einen davon: Das ist 13 des Rechtecks. Teile das ganze Rechteck nun quer in zwei gleich große Hälften und wähle im markierten Drittel eine Hälfte aus. Das Rechteck besteht jetzt aus sechs gleich großen Feldern, und genau eines davon ist ausgewählt. Also gilt 12 · 13 = 16.
Bruchprodukt
Ein Bruchprodukt ist das Ergebnis einer Multiplikation mit Brüchen. Du kannst es als Anteil von einem Anteil verstehen.
Merke: Das Wort von zeigt bei Anteilen oft eine Multiplikation an: Die Hälfte von einem Drittel ist ein Sechstel.
Teste dich
Für zwei Brüche gilt \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}. Du multiplizierst also die beiden Zähler und die beiden Nenner. Einen gemeinsamen Nenner brauchst du nicht, anders als beim Addieren und Subtrahieren. Zum Schluss prüfst du, ob sich das Ergebnis kürzen lässt.
Beispiel: 23 · 46 berechnen
- 1Zähler: 2 · 4 = 8
- 2Nenner: 3 · 6 = 18
- 323 · 46 = 818
- 4Kürzen durch 2: 818 = 49
Merke: Oben mal oben, unten mal unten. Prüfe danach immer, ob du das Ergebnis kürzen kannst.
Teste dich
Eine ganze Zahl kannst du als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben, zum Beispiel 5 = 51. Dann gilt dieselbe Regel wie bei zwei Brüchen. Kürzer geht es mit a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}: Die ganze Zahl wird mit dem Zähler multipliziert, der Nenner bleibt. Ein Bruchprodukt kann auch eine ganze Zahl sein: 5 · 35 = 155 = 3.
Beispiel: 5 · 23 berechnen
- 1Schreibe 5 als 51
- 25 · 23 = 51 · 23
- 3Zähler: 5 · 2 = 10, Nenner: 1 · 3 = 3
- 45 · 23 = 103 = 3 13
Teste dich
Du darfst schon vor dem Multiplizieren kürzen. Dabei teilst du einen Zähler und einen Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler. Das hält die Zahlen klein. Zwei Zähler oder zwei Nenner miteinander zu kürzen, ist dagegen nicht erlaubt. Zur Kontrolle hilft eine Beobachtung: Multiplizierst du zwei echte Brüche, also Brüche zwischen 0 und 1, ist das Ergebnis kleiner als jeder der beiden Faktoren. Typische Fehler sind, die Brüche unnötig gleichnamig zu machen oder einen Zähler mit einem Nenner zu multiplizieren.
Beispiel: 56 · 910 mit Vorkürzen
- 15 und 10 durch 5 kürzen: aus 5 wird 1, aus 10 wird 2
- 29 und 6 durch 3 kürzen: aus 9 wird 3, aus 6 wird 2
- 312 · 32 = 34
- 4Ohne Vorkürzen: 4560 = 34, derselbe Wert
Beispiel: Ist 23 · 35 plausibel?
- 123 · 35 = 615 = 25
- 2Beide Faktoren sind kleiner als 1
- 325 ist kleiner als 23 und kleiner als 35, das passt
Teste dich
Alles auf einen Blick
Brüche multiplizieren
Ein Bruchprodukt ist ein Anteil von einem Anteil
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner
Die Nenner müssen nicht gleich sein
als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben
vorher über Kreuz oder am Ende vollständig
Zwei echte Brüche ergeben ein kleineres Produkt
49 · 158 mit Vorkürzen berechnen
- 14 und 8 durch 4 kürzen: aus 4 wird 1, aus 8 wird 2
- 215 und 9 durch 3 kürzen: aus 15 wird 5, aus 9 wird 3
- 349 · 158 = 13 · 52
- 413 · 52 = 56
- 5Kontrolle ohne Vorkürzen: 6072 = 56
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Der Nenner wurde einfach übernommen wie beim Addieren. Beim Malnehmen werden auch die Nenner multipliziert: 25 · 45 = 825. 85 kann nicht stimmen: Das Produkt zweier echter Brüche ist kleiner als 1.
Lückentext
Beim Multiplizieren rechnest du Zähler Zähler und Nenner mal Nenner. Einen gemeinsamen Nenner brauchst du dabei . Eine ganze Zahl schreibst du als Bruch mit dem Nenner .