Kommutativgesetz: Zahlen geschickt vertauschen
Plus und Mal darfst du vertauschen, Minus und Geteilt nicht. Du lernst das Kommutativgesetz kennen und nutzt es für geschicktes Kopfrechnen.
Kurz gesagt
Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz, sagt: Bei Addition und Multiplikation darfst du die Zahlen vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Es gilt a+b=b+a und a\cdot b=b\cdot a, zum Beispiel 3\cdot 4=4\cdot 3=12. Für Subtraktion und Division gilt es nicht.
Das Kommutativgesetz sagt: Bei einer Addition oder Multiplikation darfst du die Zahlen vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Deshalb heißt es auch Vertauschungsgesetz. Du lernst, wann das Vertauschen erlaubt ist, wie es das Kopfrechnen erleichtert und warum es bei Subtraktion und Division nicht allgemein funktioniert.
Deine Lernziele
Bei einer Rechnung heißen die Zahlen, die miteinander verknüpft werden, Operanden. Eine Rechenart ist kommutativ, wenn das Vertauschen ihrer beiden Operanden das Ergebnis nicht verändert. Zum Beispiel ist 2+3=3+2=5 und 3\cdot 2=2\cdot 3=6. Du kannst dir die Addition mit Äpfeln vorstellen: Ob du zuerst 2 und dann 3 Äpfel in eine Schüssel legst oder umgekehrt, es liegen am Ende 5 Äpfel darin. Bei der Multiplikation hilft ein Rechteck: 3 Reihen mit je 4 Stücken enthalten genauso viele Stücke wie 4 Reihen mit je 3 Stücken, also 3\cdot 4=4\cdot 3=12.
Kommutativgesetz
Für Addition und Multiplikation gilt für beliebige Zahlen a und b: a+b=b+a und a\cdot b=b\cdot a.
Merke: Plus und Mal sind vertauschbar: Summanden einer Addition und Faktoren einer Multiplikation dürfen ihre Plätze tauschen.
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Du darfst mehrere Summanden oder Faktoren so anordnen, dass leicht berechenbare Paare nebeneinanderstehen. Das Vertauschen verändert den Wert nicht. Auch beim Multiplizieren kannst du glatte Zehner oder Hunderter bilden. Beim Vertauschen änderst du die Reihenfolge. Wenn du zusätzlich anders zusammenfasst, nutzt du das Assoziativgesetz: Aus (20\cdot 7)\cdot 5 wird nach Vertauschen und Umklammern (20\cdot 5)\cdot 7.
Beispiel: Berechne 6+3+14 geschickt
- 114 und 6 nebeneinanderstellen: 6+3+14=14+6+3
- 2Erst zur runden Zahl: 14+6=20
- 320+3=23
Beispiel: Berechne 20\cdot 7\cdot 5 geschickt
- 120 und 5 nebeneinanderstellen: 20\cdot 7\cdot 5=20\cdot 5\cdot 7
- 220\cdot 5=100
- 3100\cdot 7=700
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Subtraktion und Division sind nicht kommutativ. Ein Gegenbeispiel genügt, um zu zeigen, dass eine Rechenart nicht allgemein kommutativ ist. Bei der Division ist zum Beispiel 4:2=2, aber 2:4=0{,}5. Auch hier verändert das Vertauschen das Ergebnis. Bei gemischten Rechenzeichen darfst du nicht wahllos Zahlen verschieben. In 2\cdot 5+3 gehören 2 und 5 zur Multiplikation. Das Kommutativgesetz erlaubt zwar 5\cdot 2+3, aber nicht das beliebige Umstellen zu 2\cdot 3+5.
Beispiel: Subtraktion: 6-4 und 4-6
- 16-4=2
- 24-6=-2
- 3Also ist 6-4\ne 4-6.
Merke: Prüfe zuerst die Rechenart: Vertauschen ist bei Addition und Multiplikation erlaubt, nicht allgemein bei Subtraktion und Division.
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Das Kommutativgesetz gilt auch für negative Zahlen. Beim Vertauschen muss das Vorzeichen bei seiner Zahl bleiben. Klammern machen das deutlich. Auch Terme mit Variablen lassen sich ordnen. Gleichartige Terme besitzen denselben Variablenteil und können zusammengefasst werden. In Produkten kannst du Zahlen und Variablen sortieren: 2a\cdot 5ab=(2\cdot 5)(a\cdot a\cdot b)=10a^2b.
Beispiel: Berechne -5+8+15 geschickt
- 1-5+8+15=15+(-5)+8
- 215-5=10
- 310+8=18
- 4Vertauscht wurde die Zahl -5 samt Vorzeichen, nicht nur die 5.
Beispiel: Vereinfache 3a+8ab+12ab
- 1Die beiden ab-Terme nebeneinanderstellen: 3a+8ab+12ab=8ab+12ab+3a
- 28ab+12ab=20ab
- 3Ergebnis: 20ab+3a. Der Term 3a hat einen anderen Variablenteil und bleibt getrennt.
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Alles auf einen Blick
Kommutativgesetz
Operanden vertauschen
a+b=b+a
a\cdot b=b\cdot a
geschickt rechnen
Subtraktion und Division
Reihenfolge statt Klammerung
Berechne 2\cdot 13\cdot 50 geschickt
- 12 und 50 nebeneinanderstellen: 2\cdot 13\cdot 50=2\cdot 50\cdot 13
- 22\cdot 50=100
- 3100\cdot 13=1300
- 4Also ist 2\cdot 13\cdot 50=1300.
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Beim Umstellen ist das Minus bei der 5 gelandet. Es gehört aber zur 7: 20-7+5=20+5-7=25-7=18.
Lückentext
Bei 17 + 8 + 13 + 22 + 5 stellst du 17 und nebeneinander, weil sie zusammen 30 ergeben. Das ist erlaubt, weil die Addition ist. Bei der darfst du dagegen nicht einfach vertauschen.