Rechengesetze: Regeln, Beispiele und Übungen
Mit Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz rechnest du geschickter. Du lernst, wann du vertauschen, umklammern und ausmultiplizieren darfst.
Kurz gesagt
Rechengesetze sagen, wie du eine Rechnung umstellen darfst, ohne ihr Ergebnis zu ändern. Das Kommutativgesetz erlaubt Vertauschen (3 + 5 = 5 + 3), das Assoziativgesetz neues Klammern, beide nur bei Plus und Mal. Das Distributivgesetz verteilt einen Faktor: 4 · (10 + 2) = 4 · 10 + 4 · 2.
Rechengesetze erlauben dir, passende Zahlen zu vertauschen, neu zu gruppieren oder eine Multiplikation auf eine Klammer zu verteilen. Dadurch werden viele Rechnungen einfacher. Das ist jedoch nur erlaubt, wenn das jeweilige Gesetz zur Rechenart passt.
Deine Lernziele
Bei einer Rechnung mit mehreren Rechenarten darfst du nicht einfach immer von links nach rechts rechnen. Halte diese Reihenfolge ein: zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Multiplikation und Division, zuletzt Addition und Subtraktion. Rechenarten derselben Stufe rechnest du von links nach rechts.
Merke: Klammern zuerst, dann Potenzen, dann Punkt vor Strich. Erst bei gleicher Rangstufe rechnest du von links nach rechts.
Beispiel: Berechne 5 · (13 − 7) + 20 : 5
- 1Zuerst die Klammer: 13 − 7 = 6
- 2Dann Punktrechnung: 5 · 6 = 30 und 20 : 5 = 4
- 3Zuletzt die Addition: 30 + 4 = 34
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Beim Vertauschen von Summanden oder Faktoren bleibt das Ergebnis gleich. So kannst du Zahlen nebeneinanderstellen, die gut zusammenpassen. Für Subtraktion und Division gilt das Vertauschungsgesetz nicht: 9 − 4 = 5, aber 4 − 9 geht mit natürlichen Zahlen gar nicht auf. In einer längeren Rechnung mit Plus und Minus darfst du trotzdem umstellen, wenn jede Zahl ihr Rechenzeichen mitnimmt: 20 − 7 + 5 = 20 + 5 − 7 = 18.
Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz erlaubt das Vertauschen von Summanden oder Faktoren: a+b=b+a und a\cdot b=b\cdot a
Beispiel: Berechne geschickt 341 + 173 + 59 + 27
- 1Vertauschen und passend zusammenfassen:
- 2(341 + 59) + (173 + 27) = 400 + 200 = 600
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Das Assoziativgesetz verändert nur die Klammerung, es vertauscht keine Zahlen. In einer längeren Summe oder einem längeren Produkt kannst du Kommutativ- und Assoziativgesetz gemeinsam einsetzen. Bei Subtraktion und Division darfst du die Klammern nicht versetzen: (12 : 3) : 2 = 2, aber 12 : (3 : 2) = 8.
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz, auch Verbindungs- oder Klammergesetz genannt, erlaubt bei einer Folge von Additionen oder Multiplikationen eine andere Gruppierung: (a+b)+c=a+(b+c) und (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)
Beispiel: Zwei Klammerungen, ein Ergebnis
- 1(5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12
- 25 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12
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Ausmultiplizieren: Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Teil der Klammer multipliziert. Das gilt für eine Summe und genauso für eine Differenz in der Klammer. Geschickt rechnen: Eine schwierige Zahl zerlegst du in eine glatte Zahl und einen kleinen Rest. Für 7 · 99 nutzt du 99 = 100 − 1: 7 · 99 = 7 · 100 − 7 · 1 = 700 − 7 = 693. Ausklammern: Rückwärts angewendet heißt das Gesetz Ausklammern. Bei 7 · 13 + 7 · 7 steckt die 7 in beiden Produkten: 7 · 13 + 7 · 7 = 7 · (13 + 7) = 7 · 20 = 140. Zur Probe rechnest du beide Seiten einzeln aus.
Distributivgesetz
Das Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion. Für beliebige Zahlen a, b und c gilt: a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c und a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c. Der äußere Faktor wird mit jedem Teil der Klammer multipliziert.
Beispiel: Ausmultiplizieren: 6 · (20 + 4)
- 1Du verteilst die 6 auf beide Teile der Klammer.
- 26 · (20 + 4) = 6 · 20 + 6 · 4 = 120 + 24 = 144
- 3Probe mit der Klammer zuerst: 6 · 24 = 144
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Alles auf einen Blick
Rechengesetze
Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich
vertauscht Summanden oder Faktoren
gruppiert Additionen oder Multiplikationen neu
verteilt einen Faktor auf Summe oder Differenz
Distributivgesetz rückwärts, Ausmultiplizieren vorwärts
Minus und Geteilt sind weder kommutativ noch assoziativ
Berechne geschickt 25 · 17 · 4
- 1Kommutativgesetz: 25 · 17 · 4 = 25 · 4 · 17
- 2Assoziativgesetz: 25 · 4 · 17 = (25 · 4) · 17
- 3(25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700
Fehler finden
Fehler in Zeile 2Die 8 muss mit jedem Teil der Klammer multipliziert werden: 8 · (20 + 7) = 8 · 20 + 8 · 7 = 160 + 56 = 216.
Lückentext
Beim vertauschst du Summanden oder Faktoren. Beim Assoziativgesetz setzt du neu. Beim Distributivgesetz wird der Faktor vor der Klammer mit Teil der Klammer multipliziert.