Kopfgeometrie: Figuren drehen und zusammensetzen

Bei der Kopfgeometrie stellst du dir Figuren vor und veränderst sie in Gedanken. Hier geht es um Kästchenfiguren. Sie bestehen aus gleich großen Kästchen, die an ihren Seiten aneinanderhängen. In den Aufgaben liegen sie auf einem Raster. Ein Raster ist ein Gitter aus gleich großen Kästchen, wie in deinem Rechenheft. Jede Figur trägt einen Buchstaben wie A, B, C oder D. Der Buchstabe ist nur ihr Name. Auch Farbe und Platz auf dem Raster sagen nichts über die Form.

Stell dir eine Figur aus Papier vor, die auf dem Tisch liegt. Du drehst sie, ohne sie hochzuheben. Das ist eine Drehung. Dabei bleiben Anzahl, Form und Anordnung der Kästchen gleich. Anordnung heißt: wie die Kästchen zueinander liegen. Nur die Lage ändert sich: Was vorher oben war, kann danach an der Seite oder unten liegen.

Eine Vierteldrehung ist ein Viertel einer ganzen Drehung. Zwei Vierteldrehungen in derselben Richtung ergeben eine halbe Drehung. Drei ergeben eine Dreivierteldrehung, vier eine ganze Drehung. Nach einer ganzen Drehung liegt die Figur wieder wie am Anfang. „Im Uhrzeigersinn“ heißt: in die Richtung, in die sich die Zeiger einer Uhr drehen. „Gegen den Uhrzeigersinn“ heißt: in die andere Richtung. Eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn führt zur selben Lage wie drei Vierteldrehungen im Uhrzeigersinn. Eine halbe Drehung führt in beide Richtungen zur selben Lage. Achtung: Eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn und danach eine gegen den Uhrzeigersinn ergeben keine halbe Drehung. Die Figur liegt danach wieder wie am Anfang.

Ein Spiegelbild sieht aus wie die Figur in einem Spiegel, der neben ihr steht: Links und rechts sind vertauscht. Ein Spiegelbild bekommst du auch, wenn du eine Papierfigur umdrehst wie eine Spielkarte. Bei Figuren, die wie die Buchstaben L oder P aussehen, kannst du das Spiegelbild durch Drehen auf dem Tisch nicht genau auf die Figur legen. Bei manchen anderen Figuren geht das. Bei L- und P-Figuren ist ein Spiegelbild also nie die gleiche Figur.

So gehst du vor: Zähle zuerst die Kästchen. Suche dann eine auffällige Stelle, zum Beispiel das kurze Ende einer L-Figur. Drehe die ganze Figur in Gedanken Schritt für Schritt um eine Vierteldrehung weiter und verfolge dabei das kurze Ende. Prüfe zum Schluss jedes Kästchen und auch die Seite, auf der das kurze Ende liegt. Gleich viele Kästchen allein beweisen noch nicht, dass es dieselbe Figur ist.

In Aufgaben heißt es zum Beispiel: „Finde die gleiche Figur wie im Kasten. Kreuze an.“ Die Figur im Kasten ist die Ausgangsfigur. „Gleiche Figur“ bedeutet hier: dieselbe Figur, nur gedreht. Ein Spiegelbild zählt nicht dazu. Am Bildschirm wählst du statt Ankreuzen den Buchstaben der passenden Figur. S-Figur und Z-Figur sind Spiegelbilder voneinander. Eine Z-Figur ist also nie die gleiche Figur wie eine S-Figur. Tipp für den Test: Prüfe jede Figur zur Auswahl einzeln. Oft sieht eine falsche Antwort fast gleich aus, weil sie ein Spiegelbild ist.

Ein Rechteck hat vier gerade Seiten und vier Ecken wie die Ecken eines Blattes Papier. Legst du ein Rechteck aus Kästchen, haben alle Reihen gleich viele Kästchen. Die Reihen beginnen und enden genau untereinander, und innen fehlt kein Kästchen. Auch ein Quadrat ist ein Rechteck.

Beim Zusammensetzen gelten feste Regeln. Du darfst jedes Teil als Ganzes drehen und an ein anderes anlegen. Du darfst kein Teil spiegeln, also nicht wie eine Spielkarte umdrehen. Du darfst kein Teil zerschneiden oder verändern. Jedes Teil benutzt du genau einmal. Am Ende muss das Rechteck ohne Lücke und ohne Überlappung gefüllt sein. Eine Überlappung heißt: Zwei Teile liegen auf demselben Kästchenplatz. Teile dürfen sich aber an ihren Seiten berühren.

So gehst du vor: Zähle zuerst die Kästchen der Teile zusammen. Die Summe muss so groß sein wie die Kästchenzahl des Rechtecks. Das ist nötig, aber noch kein Beweis. Suche dann eine lange gerade Kante, die außen am Rechteck liegen kann, und Stellen, an denen ein Teil nach innen eingedrückt ist. Drehe ein Teil in Gedanken, wenn es so noch nicht passt. Prüfe am Schluss Reihe für Reihe: Ist jeder Platz genau einmal belegt? Bilden die äußeren Kanten ein Rechteck?

Manchmal liegt schon ein Teil im Rechteck, und ein Stück ist noch frei. Dieses freie Stück heißt Lücke. Die Lücke hat eine bestimmte Form, nicht nur eine Anzahl. Zwei Teile mit gleich vielen Kästchen passen deshalb nicht unbedingt beide hinein.

In Aufgaben heißt es zum Beispiel: „Verbinde die Figuren, die zusammen ein Rechteck ergeben. Du darfst die Figuren drehen.“ Auf Papier verbindest du die passenden Teile mit einer Linie. Am Bildschirm wählst du ein Paar aus, zum Beispiel „A und C“. Bei Lückenaufgaben zeigen graue Kästchen die Lücke. Tipp für den Test: Suche zu jedem Teil das Gegenstück. Wo ein Teil eine Stufe oder Ecke hat, muss das andere Teil genau dort hineinpassen.

„Gleich groß“ heißt hier: Die Flächen sind gleich groß. Die Fläche ist der Platz, den eine Figur auf dem Raster bedeckt. Vergleiche Figuren auf demselben Raster mit gleich großen Kästchen. Jedes ganze Kästchen zählt einmal.

Zähle geordnet: Reihe für Reihe von oben nach unten und in jeder Reihe von links nach rechts. Merke dir die Anzahl jeder Reihe und zähle alle Anzahlen zusammen. Leere Plätze gehören nicht zur Figur. Das gilt auch für leere Plätze in Einbuchtungen. Eine Einbuchtung ist eine Stelle, an der die Figur nach innen eingedrückt ist.

Figuren mit gleich vielen Kästchen sind gleich groß, auch wenn ihre Formen verschieden sind. Beim Drehen wird eine Figur weder größer noch kleiner. Eine breit aussehende Figur kann weniger Kästchen haben als eine schmal aussehende. Länge, Höhe, Farbe und Aussehen entscheiden den Vergleich nicht. Ein Kästchen mehr macht die Fläche um ein Kästchen größer. In der Tabelle unten beginnen alle Reihen am linken Rand. A ist ein Rechteck, B ist oben breit und darunter schmal. Trotzdem sind A und B gleich groß. C sieht A sehr ähnlich, hat aber ein Kästchen mehr.

In Aufgaben heißt es zum Beispiel: „Bei welchen Figuren sind die Flächen gleich groß? Kreuze an.“ Oder: „Wie viele Kästchen hat Figur C?“ Dann trägst du eine Zahl ein. Tipp für den Test: Schreib die Kästchenzahl klein neben jede Figur. Dann vergleichst du nur noch Zahlen.