Flächen mit Kästchen vergleichen

Die Fläche ist der Platz, den eine Figur bedeckt. Der Flächeninhalt sagt dir, wie groß diese Fläche ist. Hier misst du ihn mit gleich großen Kästchen. Ein Einheitsquadrat ist ein solches Kästchen zum Auslegen und Zählen. Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier Ecken. Auslegen heißt: Du bedeckst die Fläche mit passenden Teilen, ohne Lücken und ohne etwas übereinanderzulegen.

Du zählst, was die Figur bedeckt. Der Rand der Figur ist eine Linie, kein eigenes Kästchen. Bedeckte Kästchen direkt am Rand zählst du mit. Leere Kästchen außerhalb der Figur zählen nicht. Auch leere Kästchen in einer Einbuchtung zählen nicht. Eine Einbuchtung ist eine Stelle, an der die Figur nach innen eingedrückt ist.

So zählst du Reihe für Reihe: Fang oben an und geh nach unten. Zähle jede Reihe von links nach rechts und jede Stelle genau einmal. Merke dir die Zahl jeder Reihe. Dann addierst du die Zahlen, das heißt, du rechnest sie plus. Sind die Reihen verschieden lang, addierst du die einzelnen Zahlen. Fehlende Kästchen zählst du dabei nicht in Gedanken dazu.

Bei einem Rechteck liegen die Kästchen in gleich langen Reihen ohne Lücken genau untereinander. Auch ein Quadrat ist ein Rechteck. Dann kannst du rechnen: Anzahl der Reihen mal Kästchen in einer Reihe. Der Malpunkt \cdot bedeutet „mal“. Ein Rechteck mit 4 Reihen zu je 6 Kästchen hat 6 + 6 + 6 + 6 = 24 Kästchen, kurz 4 \cdot 6 = 24. Diese Malrechnung passt direkt nur zu gleich langen Reihen ohne Lücken.

Manche Kästchen sind schräg geteilt. Schneidest du ein Kästchen genau von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke, entstehen zwei gleich große Dreiecke. Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Ecken. Jedes dieser Dreiecke ist ein halbes Kästchen. Zwei halbe Kästchen ergeben zusammen ein ganzes, auch wenn sie an verschiedenen Stellen der Figur liegen. Aber Vorsicht: Nicht jedes schräg angeschnittene Kästchen ist automatisch ein halbes. Manchmal steht in einem Kästchen „½“, das bedeutet „ein halb“. Dieses Kästchen ist dann nur zur Hälfte bedeckt. Ein Kästchen mit ½ ist manchmal ganz eingefärbt. Zähle es trotzdem nur halb. Auf Papier ist ein halbes Kästchen meist ein Dreieck.

So gehst du vor: Zähle zuerst die ganzen Kästchen. Bilde dann aus den halben Kästchen Paare. Addiere zum Schluss. Eine Figur bedeckt zum Beispiel 6 ganze Kästchen und 2 halbe. Die 2 halben ergeben 1 ganzes. Zusammen sind das 6 + 1 = 7 Kästchen. Tipp: Schreib die Zahl der ganzen und die Zahl der halben Kästchen getrennt auf. Dann rechnest du.

Zum Vergleichen müssen alle Kästchen gleich groß sein. Sind die Kästchen verschieden groß, beweist die gleiche Anzahl keine gleich große Fläche. Liegen alle Figuren auf demselben Kästchenpapier, ist das erfüllt. Jede Figur hat einen Buchstaben als Namen. Ihre Farbe und ihr Buchstabe ändern die Fläche nicht.

Bestimme für jede Figur die Kästchenzahl. Halbe Kästchen fasst du dabei zu Paaren zusammen. Gleiche Zahlen bedeuten gleich große Flächen. Eine größere Zahl bedeutet eine größere Fläche. Die Formen dürfen dabei ganz verschieden aussehen. Wie lang oder wie breit eine Figur ist, entscheidet allein nicht. Die Länge des Randes heißt Umfang. Der Umfang ist etwas anderes als die Fläche. Ihn berechnest du hier nicht.

Im Test heißt es oft: „Kreuze alle Figuren an, die gleich groß sind.“ Dann prüfst du jede Figur. Hör nicht beim ersten passenden Paar auf. Sind drei Figuren gleich groß, kreuzt du alle drei an. Gibt es zwei Paare mit verschiedenen Kästchenzahlen, nennst du beide Paare getrennt. Dann sind die vier Figuren nicht alle gleich groß. Tipp: Schreib zu jedem Buchstaben zuerst seine Kästchenzahl auf. Dann kreuzt du an.

Beim Ordnen nennst du die kleinste Fläche zuerst. Hat A 7 Kästchen, B 12, C 9 und D 14, heißt die Reihenfolge von klein nach groß: A, C, B, D. Sollst du Figuren mit einem Rechteck vergleichen, prüfst du jede Figur einzeln: Ist sie größer, gleich groß oder kleiner als das Rechteck?

In der Tabelle beginnen alle Reihen links und werden von oben nach unten genannt.

Zerlegen heißt: Du schneidest eine Figur in Teile oder trennst Teilflächen in Gedanken. Umlegen heißt: Du legst ein Teil an eine andere Stelle. Danach liegen alle Teile ohne Lücke aneinander und nicht übereinander. Liegen Teile übereinander, nennt man das Überlappung.

Geht kein Teil verloren, kommt keins dazu und wird jedes Teil genau einmal benutzt, dann ändert sich die Fläche nicht. Das gilt auch, wenn du ein halbes Kästchen als Teil umlegst. Die Figur sieht danach anders aus, aber sie bedeckt genauso viele Kästchen.

Das hilft dir beim Vergleichen. Du kannst eine Figur zu einem Rechteck mit derselben Fläche umlegen. Dann zählst du die gleich langen Reihen oder rechnest mal. Du kannst eine große Figur auch in zwei Rechtecke zerlegen. Zähle jedes Rechteck einzeln und addiere die beiden Zahlen. Dabei dürfen die Teile nicht übereinanderliegen, und kein Platz darf ausgelassen werden.

Pass beim Ergänzen auf. Ergänzen heißt: Du legst neue Kästchen dazu, zum Beispiel damit ein Rechteck voll wird. Das ist kein Umlegen. Weil neue Kästchen dazukommen, wird die Fläche größer.